Autor Tema: Probabilidad de factorización

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17 Febrero, 2021, 01:03 pm
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Pie

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Buenas. Se me ha ocurrido un problema que no sé si tiene solución.

Sea \(  P(n)  \) un polinomio de la forma: \( an^2 + bn + c \), con \( a \), \( b \) y \( c \leq{10} \) (y \( \geq{1} \) se entiende).

¿Cuál es la probabilidad de que un polinomio de esta forma (con los coeficientes elegidos al azar) se pueda factorizar por completo?

¿Podría obtenerse una solución general? (si en vez de \( 10 \) la cota de los coeficientes fuera \( x \))

PD. Con \( a \), \( b \) y \( c \) \( \in{\mathbb{N}} \).

Saludos.
Hay dos tipos de personas, los que piensan que hay dos tipos de personas y los que no.

17 Febrero, 2021, 01:25 pm
Respuesta #1

Fernando Revilla

  • Es más fácil engañar a alguien que convencerle de que ha sido engañado.
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    • Fernando Revilla
Sea \(  P(n)  \) un polinomio de la forma: \( an^2 + bn + c \), con \( a \), \( b \) y \( c \leq{10} \) (y \( \geq{1} \) se entiende). ¿Cuál es la probabilidad de que un polinomio de esta forma (con los coeficientes elegidos al azar) se pueda factorizar por completo?
¿Podría obtenerse una solución general? (si en vez de \( 10 \) la cota de los coeficientes fuera \( x \))

Supongo que \( a,b,c \) son reales y que nos referimos a factorización en \( \mathbb{R} \) pues en \( \mathbb{C} \) siempre es posible. Tal factorización es posible sí y sólo si \( (a,b,c) \) está en la zona \( S \): \( b^2-4ac\ge 0 \) con los \( a,b,c \) en el intervalo \( [1,10] \). La probabilidad de factorización sería el cociente entre el volumen en el espacio \( abc \) de \( S \) y el volumen de \( [1,10]^3 \).

17 Febrero, 2021, 01:34 pm
Respuesta #2

Pie

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Sea \(  P(n)  \) un polinomio de la forma: \( an^2 + bn + c \), con \( a \), \( b \) y \( c \leq{10} \) (y \( \geq{1} \) se entiende). ¿Cuál es la probabilidad de que un polinomio de esta forma (con los coeficientes elegidos al azar) se pueda factorizar por completo?
¿Podría obtenerse una solución general? (si en vez de \( 10 \) la cota de los coeficientes fuera \( x \))

Supongo que \( a,b,c \) son reales y que nos referimos a factorización en \( \mathbb{R} \) pues en \( \mathbb{C} \) siempre es posible. Tal factorización es posible sí y sólo si \( (a,b,c) \) está en la zona \( S \): \( b^2-4ac\ge 0 \) con los \( a,b,c \) en el intervalo \( [1,10] \). La probabilidad de factorización sería el cociente entre el volumen en el espacio \( abc \) de \( S \) y el volumen de \( [1,10]^3 \).

Justo ahora iba a editar para aclarar que me refería a coeficientes enteros (y factorización en \( \mathbb{Z} \)). Perdón por el despiste. De todos modos gracias por la solución en los reales. :)

Saludos.
Hay dos tipos de personas, los que piensan que hay dos tipos de personas y los que no.