Autor Tema: Integración en el plano complejo

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15 Febrero, 2021, 11:41 pm
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Karla Maite

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Buenas tardes, me podrían ayudar como entender y demostrar este Lema por favor :,c

Enunciado:

Sea $$U\subset \mathbf C$$ un abierto conexo. Dados $$z,w\in U$$, existe una curva poligonal $$[z_0,\ldots,z_k]\subset U$$ que satisface: (a) $$z_0=z,\ z_k=w$$, (b) $$[z_{j-1},z_j]$$ es paralela a los ejes coordenados si $$j\in \{ 1,\ldots,k\}$$. En particular $$U$$ es conexo por caminos de clase $$C^1$$ a trozos.

Corregido por moderación.

16 Febrero, 2021, 04:42 am
Respuesta #1

Gustavo

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Sea $$U\subset \mathbf C$$ un abierto conexo. Dados $$z,w\in U$$, existe una curva poligonal $$[z_0,\ldots,z_k]\subset U$$ que satisface: (a) $$z_0=z,\ z_k=w$$, (b) $$[z_{j-1},z_j]$$ es paralela a los ejes coordenados si $$j\in \{ 1,\ldots,k\}$$. En particular $$U$$ es conexo por caminos de clase $$C^1$$ a trozos.

Una forma es la siguiente: Fija algún $$x\in U$$ y define $$V$$ como el conjunto de puntos en $$U$$ que puedes conectar a $$x$$ mediante una curva como las descritas en el enunciado. $$V$$ no es vacío porque $$x\in V$$. Prueba que $$V$$ es abierto y cerrado. Eso implica que $$V=U$$ por la conexidad de $$U$$.

Por ejemplo, para ver que es abierto, para todo $$z \in V$$ debes probar que hay un abierto $$W$$ tal que $$z\in W\subset V$$. Debes entonces construir un abierto $$W$$ y probar que para todo $$y\in W$$ tienes una curva poligonal (como las que se piden) entre $$x$$ e $$y$$ dado que hay una curva poligonal (como las que piden) entre $$x$$ y $$z$$.