Autor Tema: "Monomios/Polinomios" con exponentes no naturales

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12 Febrero, 2021, 06:05 am
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Pie

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Buenas. Me preguntaba si esto tiene algún nombre concreto (de ahí que entrecomille lo de "monomios/polinomios"  ;D), ya que si no estoy equivocado, la definición de monomio o polinomio sólo vale para exponentes naturales.

El caso es que estaba intentando resolver un problema de límites, en el que después de varias operaciones y simplificaciones aparecieran expresiones con raíces cuadradas en el numerador (que daban el máximo "grado" de este) y un polinomio de grado 1 en el denominador. Y al intentar justificar (con palabras, se entiende) que ese límite tenía que ser cero, me quedé un buen rato pensando cómo expresar esto de forma correcta.

¿Sería correcto simplemente decir "el grado del numerador es menor al del denominador? (sin entrar en si son polinomios o no) ¿puede hablarse de "grados" para expresiones con exponentes no naturales? Si es así, ¿qué palabra se utilizaría para referirse a una expresión con máximo exponente no natural? (el grado de "qué cosa" quiero decir)

Porque en este caso me salvó (si es que me salvó XD) la coletilla del numerador, pero ahora mismo no sabría qué palabra utilizar para referirme a esa misma expresión sin ningún denominador. ;D

PD. Sorry si el hilo es un poco chorra, pero la verdad es que a veces me cuesta encontrar las palabras adecuadas para algunas cosas, y pierdo incluso más tiempo intentando encontrarlas que resolviendo los problemas en sí (que en este caso por ejemplo era relativamente sencillo XD)..

Saludos.
Hay dos tipos de personas, los que piensan que hay dos tipos de personas y los que no.

12 Febrero, 2021, 06:19 am
Respuesta #1

manooooh

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Hola

A esas funciones con una \( x \) en el denominador se las denomina "racionales". Puedes buscar más en Internet. Y si tienes una función de la forma \( x^a \) con \( a\in\Bbb{R}^+ \) yo diría que son del tipo "potencial". Nota que para el caso particular \( a\in\Bbb{N} \) se las denomina "polinomios".

Los polinomios tienen dominio en los reales, mientras que una función racional lo tiene en un subconjunto propio de los reales. Por tanto son funciones de distinto tipo.

No creo que "grado" se refiera a otra cosa que no sea "de un polinomio". Tampoco creo recordar que el tipo de límite como el que planteas se resuelva con "mirar el grado del numerador y compararlo con el del numerador", porque tal como está, en el denominador hay una función potencial no natural. Si quieres adjunta el límite así lo vemos.

Saludos

12 Febrero, 2021, 06:56 am
Respuesta #2

Pie

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La expresión en concreto era esta (aprovecho para aclarar que me expresé mal, ya que lo del denominador no era un polinomio de grado 1, sino una expresión en la que el exponente mayor es un monomio de grado 1)

\( \displaystyle\lim_{x \to\infty}{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{x + 1} + 1}{x/2 + \sqrt[ ]{2x + 1}}} \)

La justificación para decir que este límite es igual a 0 no está en que el "grado" del numerador es menor al del denominador?

Saludos.
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12 Febrero, 2021, 08:34 am
Respuesta #3

sugata

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¿Por qué el límite es 0 si el grado del denominador es mayor que el numerador?
No se si lo has visto, pero esto viene de dividir numerador y denominador por la incógnita al mayor exponente, en este caso \( x=\sqrt[ ]{x^2} \)
Arriba quedará todo cero y abajo el coeficiente de la x

12 Febrero, 2021, 09:13 am
Respuesta #4

Pie

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¿Por qué el límite es 0 si el grado del denominador es mayor que el numerador?
No se si lo has visto, pero esto viene de dividir numerador y denominador por la incógnita al mayor exponente, en este caso \( x=\sqrt[ ]{x^2} \)
Arriba quedará todo cero y abajo el coeficiente de la x

Sí, lo sé. Supongo que lo suyo es justificarlo así, pero como a veces hay que hacer eso varias veces (de hecho el limite que puse no es el original, sino una parte convenientemente separada, en el original hay que hacerlo más de una vez) me interesaba saber cómo expresarlo correctamente sólo con palabras.

Aunque puestos a abreviar, supongo que no hacen falta ni palabras para el que ya tiene cierta experiencia con estos temas (de hecho me suena haber visto a algunos que ponen directamente el resultado de este tipo de límites así sin más  :laugh:).

De todos modos me parece que tendría que haber alguna palabra análoga a "monomios/polinomios" para referirse a expresiones de ese tipo, y poder hablar de su "grado", etc.. no?

Saludos.
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12 Febrero, 2021, 10:48 am
Respuesta #5

feriva

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Hola, Pie.

Si no me he equivocado, puedes transformarlo en un polinomio de dos variables (creo que se le puede llamar así) con potencias enteras

\( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\sqrt{x+1}+1}{\dfrac{x}{2}+\sqrt{2x+1}}=}}
  \)

\( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\sqrt{x+1}+1}{\dfrac{x+2\sqrt{2x+1}}{2}}=}}
  \)

\( {\displaystyle {\displaystyle \frac{2\sqrt{x+1}+2}{x+2\sqrt{2x+1}}=y}}
  \)

Entonces

\( {\displaystyle {\displaystyle 2\sqrt{x+1}+2=xy+2y\cdot\sqrt{2x+1}}}
  \)

\( {\displaystyle {\displaystyle 2\sqrt{x+1}\cdot(1-y)+2=xy}}
  \)

\( {\displaystyle {\displaystyle (1-y)\sqrt{x+1}+1=\dfrac{xy}{2}\Rightarrow}}
  \)

Spoiler

Aquí era más fácil haber hecho esto, pero bueno, ya lo tengo escrito de la otra manera

\( {\displaystyle {\displaystyle (1-y)\sqrt{x+1}=\dfrac{xy}{2}-1\Rightarrow}}
  \)

[cerrar]

\( {\displaystyle {\displaystyle (1-y)\sqrt{x+1}+\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}=\dfrac{xy}{2}\Rightarrow}}
  \)

\( {\displaystyle {\displaystyle (1-y)(x+1)+\sqrt{x+1}=\dfrac{xy}{2}\sqrt{x+1}\Rightarrow}}
  \)

\( {\displaystyle {\displaystyle (1-y)(x+1)=(\dfrac{xy}{2}-1)\sqrt{x+1}\Rightarrow}}
  \)

Elevando al cuadrado en los dos lados y despejando, te queda un polinomio en dos variables con potencias enteras.

\( x^{2}y^{2}-2x^{2}y+x^{2}+2xy^{2}-4xy+2x+y^{2}-2y+1=\dfrac{1}{4}x^{3}y^{2}+\dfrac{1}{4}x^{2}y^{2}-x^{2}y-xy+x+1
  \)

Fíajte en que si “y” no tendiera a infinito (supongamos que aún no sabes qué te da el límite) al dividir entre \( x^{3}
  \) todo no queda indeterminación; y tendrías que, con \( x\rightarrow\infty
  \), entonces \( 0=\dfrac{y^{2}}{4}
  \), o sea, y=0. Luego el límite será o bien infinito o bien cero tal como realmente es (si no me he equivocado en las operaciones).

Saludos.