Autor Tema: Ecuacion Homogenea

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04 Febrero, 2021, 02:53 pm
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weimar

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Resolver:
$$y\frac{dy}{dx}=x+4ye^{-2(x/y)}$$
Bueno escribi de la forma $$ \frac{dy}{dx}=(x/y)+4e^{-2(x/y)}$$  luego hacemos $$u=(x/y)  \Rightarrow{ x=uy  }  \Rightarrow{   1=\frac{du}{dx}y+u\frac{dy}{dx} }$$
Sustituyendo tenemos que :

$$ 1=\frac{du}{dx}(x/u)+u(u+e^{-2u})  \Rightarrow{   u-u^3-4u^2e^{-2u}=x\frac{du}{dx}}\Rightarrow{   \int (1/x)dx=\int \frac{1}{u-u^3-4u^2e^{-2u}}du}$$

solo que esa ultima integral es complicado para calcular, cual sera otra forma de resolver  :banghead: :banghead: :banghead:



04 Febrero, 2021, 08:35 pm
Respuesta #1

Fernando Revilla

  • Es más fácil engañar a alguien que convencerle de que ha sido engañado.
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$$ 1=\frac{du}{dx}(x/u)+u(u+e^{-2u})  \Rightarrow{   u-u^3-4u^2e^{-2u}=x\frac{du}{dx}}\Rightarrow{   \int (1/x)dx=\int \frac{1}{u-u^3-4u^2e^{-2u}}du}$$ solo que esa ultima integral es complicado para calcular, cual sera otra forma de resolver

Es por supuesto lícito cuando aparece una integral no integrable elementalmente, dejar la solución en términos de cuadraturas, en nuestro caso, \( \log \left |{x}\right |=\displaystyle\int \frac{1}{u-u^3-4u^2e^{-2u}}du \) con lo cual, \( \log \left |{x}\right |=C+\displaystyle\int_{1}^{x/y} \frac{1}{t-t^3-4t^2e^{-2t}}dt \).

04 Febrero, 2021, 09:01 pm
Respuesta #2

weimar

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Buena observacion, muy agradecido.