Autor Tema: Teorema de Picard-Lindelöf.

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30 Enero, 2021, 03:53 am
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S.S

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Hola a todos.
Estoy leyendo el teorema de Picard- Lindelöf (Existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales), no lo enuncio, y solo daré las que considero ideas principales de dos pruebas que leí  para luego formular las preguntas:

\( {\bf \textrm{Sketch prueba 1.}}  \)Teniendo la ecuación diferencial \( x^{\prime} = F(t,x),  F: U \subset \mathbb{R}^{n+1}\rightarrow{\mathbb{R}^{n}}, x(t_0) = x_0  \), U abierto, sea \( \delta  \) positivo, tal que \( B_{\delta}(t_{0}) \times B_{\delta}(x_{0}) \subset U \) y considere \( C=\{\gamma:(t_{0} - \epsilon, t_{0}+ \epsilon):  \gamma^{\prime}=F(t,\gamma), \gamma(t_0) = x_0 \} \),  \( C \) con la métrica \( d_s  \) del supremo es un espacio completo. Ahora sea \(  \omega: C \rightarrow{C} \) definido por: \( \omega(\gamma(t)) = x_{0} + \displaystyle\int_{t_{0}}^{t} F(s, \gamma(s))ds \). Una vez propuesto este operador es probar que está bien definido y que es una contracción para luego usar el teorema del punto fijo y poder concluir que ese punto fijo es la solución.  (\(  \epsilon \) es el mínimo de unos números importantes  para el desarrollo de la prueba  pero por no hacer muy larga el sketch decidí no escribir)

\( {\bf \textrm{Sketch prueba 2.}} \) Considere \( \varphi_{0}(t) = x_0, \varphi_{1}(t) = x_{0} + \displaystyle\int_{t_0}^{t}F(t,\varphi_0)dt,..., \varphi_{n}(t) = x_{0} + \displaystyle\int_{t_0}^{t}F(t, \varphi_{n-1}(t)dt \). Establecidas estas funciones los pasos  a seguir son verificar que \( \varphi_{i}(t) \) está en el dominio de \( F(t,x) \), luego verificar que esta sucesión de funciones converge uniformemente y su límite es la solución a la ecuación diferencial. (Aquí de nuevo aparecerá un \( \epsilon \), pero lo omití)

Dicho esto, las preguntas son:

1. ¿Qué relación existe entre las dos pruebas? Pregunto esto porque  que en la primera prueba el operador \( \omega \) tiene un punto fijo pero este se halla con un proceso iterativo (en la prueba del punto fijo como tal), que parece ser la parte que se desarrolla en la segunda prueba. (Esto es, me parecen partes de la misma prueba solo que uno usa el teorema del punto fijo y el otro hace una especie de prueba del punto fijo para este caso particular.)

2. ¿Qué hace que un autor se decante por una u otra prueba?

Gracias.



03 Febrero, 2021, 01:19 pm
Respuesta #1

S.S

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Hola, gracias por las correcciones, actualmente tengo un teclado descompuesto (no es excusa para las fallas que pude evitar), intentaré cuidarme más.