Autor Tema: Funciones reales en comparación con funciones holomorfas

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08 Febrero, 2021, 08:16 pm
Respuesta #30

Restituto

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Pues yo también entiendo que la fórmula que pones vale aunque \[ f \] no sea analítica, sí.

Lo que pasa es que si pretendes usar el teorema de los residuos para calcular la integral a lo largo del contorno necesitarás que la función que integras sea analítica. En cualquier caso, el integrando en el caso del propagador ya es analítico, así que tampoco hay problema.
No estoy seguro de si el sentiido en el que dices que el integrando ya es analítico es compatible con lo siguiente:  el integrando es cualquiera de las expresiones que se igualan en el teorema enlazado arriba y que valdría aunque la función integrada no fuera analítica. En un lado tenemos la expresión con los polos complejos a una distancia \( \varepsilon \) de la recta real y en el otro el contorno elegido que usa la formula integral de Cauchy de manera que evita los polos reales mediante semicirculos de radio \( \varepsilon \), para no englobar ninguno. Bueno más en concreto las partes correspondientes a la integración de valor principal de la recta real y de los semicirculos pequeños en el límite ya que la del semicirculo grande en el infinito se hace cero por cómo decae la función.

Borrado párrafo confuso

08 Febrero, 2021, 11:39 pm
Respuesta #31

geómetracat

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No sé si te entiendo. Tampoco te tomes lo que te diga como la verdad absoluta, como ya te dije este tema me queda un poco lejos.

Dicho esto, para mí el integrando es \[ \frac{e^{-ip(x-y)}}{p^2-m^2\pm i \epsilon} \] (o lo que se obtiene tras integrar la parte espacial), que es una función meromorfa. Antes de hacer tender \[ \epsilon \] a cero, puedes calcular la integral usando el teorema de los residuos precisamente porque la función es meromorfa. Luego a la hora de tomar el límite acabas con las distribuciones.

También puedes aplicar la fórmula que pusiste que vale para funciones no analíticas, pero entonces entiendo que hay que calcular aparte el valor principal de la integral \[ \int_a^b \frac{f(x)}{x}dx \] que aparece en la Wikipedia.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

09 Febrero, 2021, 09:31 am
Respuesta #32

Restituto

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Eso es. A ver si ya no me lío más. Sin meromorfidad no habría integral, ni distribución ni ordenación temporal para valores  en el vacio, y la correspondiente unitaridad, que es para lo que se usa.