Autor Tema: Funciones reales en comparación con funciones holomorfas

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28 Enero, 2021, 01:46 pm
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Restituto

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Aunque las funciones holomorfas  dan la impresión por su rigidez de ser muchas menos o de ser más especiales que las funciones reales continuas, no estoy seguro de que sea así, al menos si comparamos funciones reales en un intervalo con funciones holomorfas en algún dominio de \( \mathbb{C} \) ya que si son integrables se deberían poder extender analíticamente al semiplano superior por ejemplo en algun entorno \( U \) del intervalo real dicho semiplano dependiendo de los límites de integración de la función real conitnua.

Lo que me suena de haber visto son ejemplos en Física al ver funciones de respuesta a impulso en las que se requiere que la señal sea analítica para una función positiva por razones de causalidad de la respuesta respecto a la señal. Entonces tenía por ejemplo una integral del tipo \( \displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{i\omega t} \phi(t) dt \) donde \( \phi(t) \) es la respuesta a impulso causal solo válida para valores positivos de t y la integral da lugar a una función transformada compleja \( \chi(\omega) \) (también llamada transformada de Fourier-Laplace) en principio pensada para \( \omega \) real pero que por sus simetrías tiene extensión analítica al semiplano superior y esta propiedad como señal analítica permite tener transformaciones de Hilbert entre su parte real e imaginaria, las muy usadas relaciones de dispersión en matemática aplicada en temas de señales y control.

Por tanto, ¿habría aproximadamente tantas funciones holomorfas en dominios complejos como funciones reales continuas en intervalos reales?




28 Enero, 2021, 02:47 pm
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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Aunque las funciones holomorfas  dan la impresión por su rigidez de ser muchas menos o de ser más especiales que las funciones reales continuas, no estoy seguro de que sea así, al menos si comparamos funciones reales en un intervalo con funciones holomorfas en algún dominio de \( \mathbb{C} \) ya que si son integrables se deberían poder extender analíticamente al semiplano superior por ejemplo en algun entorno \( U \) del intervalo real dicho semiplano dependiendo de los límites de integración de la función real conitnua.

No sé si te acabo de entender. ¿Lo que dices es que toda función continua en un intervalo se tiene que poder extender a una función holomorfa? Eso es falso. Una función, no ya continua, sino de clase \( C^\infty \), es decir, con derivadas continuas de todos los órdenes definida en un intervalo en \( \mathbb R \) puede anularse en un intervalo menor sin ser idénticamente nula, y tal función no puede admitir una prolongación analítica.

Por tanto, ¿habría aproximadamente tantas funciones holomorfas en dominios complejos como funciones reales continuas en intervalos reales?

Lo de "tantas funciones como" es muy débil. Si te refieres al número de funciones, sí, hay \( 2^{\aleph_0} \) en ambos casos, pero eso no dice gran cosa. Incluso en el caso de las funciones reales de variable real, las funciones analíticas (desarrollables en serie de potencias en un entorno de cada punto) son un caso muy particular de las funciones de clase \( C^\infty \) (las que tienen derivadas continuas de todos los órdenes), que a su vez son una clase bastante más restrictiva que la de las funciones meramente continuas.

28 Enero, 2021, 05:51 pm
Respuesta #2

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No sé si te acabo de entender. ¿Lo que dices es que toda función continua en un intervalo se tiene que poder extender a una función holomorfa? Eso es falso. Una función, no ya continua, sino de clase \( C^\infty \), es decir, con derivadas continuas de todos los órdenes definida en un intervalo en \( \mathbb R \) puede anularse en un intervalo menor sin ser idénticamente nula, y tal función no puede admitir una prolongación analítica.
No, claro, por el principio de ceros aislados (teorema de identidad), así que ya habría que restringir a funciones que no se anulen en el intervalo. Creo que lo he planteado un poco al revés, desde las funciones continuas  a las analíticas cuando la idea es más desde las posibles extensiones analíticas de funciones reales pero creo que la intuición era mas bien que en algún sentido tales funciones reales con posible extensión por no anularse dentro del intervalo son tan rígidas como las holomorfas. Aquí entraría el ejemplo de las funciones de respuesta a estímulo que cumplen el no anularse para un estímulo cuya respuesta sea medible.

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Lo de "tantas funciones como" es muy débil. Si te refieres al número de funciones, sí, hay \( 2^{\aleph_0} \) en ambos casos, pero eso no dice gran cosa. Incluso en el caso de las funciones reales de variable real, las funciones analíticas (desarrollables en serie de potencias en un entorno de cada punto) son un caso muy particular de las funciones de clase \( C^\infty \) (las que tienen derivadas continuas de todos los órdenes), que a su vez son una clase bastante más restrictiva que la de las funciones meramente continuas.
En efecto no dice  nada más allá de la cardinalidad de los reales y no informa de la particularidad de cada uno de esos subconjuntos.

28 Enero, 2021, 05:58 pm
Respuesta #3

Carlos Ivorra

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Creo que lo he planteado un poco al revés, desde las funciones continuas  a las analíticas cuando la idea es más desde las posibles extensiones analíticas de funciones reales pero creo que la intuición era mas bien que en algún sentido tales funciones reales con posible extensión por no anularse dentro del intervalo son tan rígidas como las holomorfas.

Sigo creyendo que deberías tener en consideración el concepto general de función analítica, que es aplicable tanto a funciones de variable real como a funciones de variable compleja. En el caso de las funciones de variable compleja, las funciones analíticas coinciden con las holomorfas, es decir, con las derivables en sentido complejo, pero en el caso real las funciones analíticas son una clase más restrictiva que la de las funciones infinitamente derivables, y ésas son las funciones de variable real que tienen propiedades equiparables a las de las funciones holomorfas, con su misma rigidez, etc.

28 Enero, 2021, 06:39 pm
Respuesta #4

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Sigo creyendo que deberías tener en consideración el concepto general de función analítica, que es aplicable tanto a funciones de variable real como a funciones de variable compleja. En el caso de las funciones de variable compleja, las funciones analíticas coinciden con las holomorfas, es decir, con las derivables en sentido complejo, pero en el caso real las funciones analíticas son una clase más restrictiva que la de las funciones infinitamente derivables, y ésas son las funciones de variable real que tienen propiedades equiparables a las de las funciones holomorfas, con su misma rigidez, etc.
Sí, a ver, eso claro que lo considero pero no es a lo que me refería,  es que si la función real es analítica no tiene la limitación a un semiplano superior que estoy manejando aquí. Dentro de esta limitación de dominio una función real sin tener que ser analítica real, como de la que he hablado, que es extendible a una señal analítica (https://en.wikipedia.org/wiki/Analytic_signal) en el un semiplano, sí tiene ese tipo de propiedades que son las que van a permitir integrales singulares como las de las transformadas de Hilbert que son funciones reales(partes real e imaginaria de una función holomorfa).

28 Enero, 2021, 06:48 pm
Respuesta #5

Carlos Ivorra

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Sí, a ver, eso claro que lo considero pero no es a lo que me refería,  es que si la función real es analítica no tiene la limitación a un semiplano superior que estoy manejando aquí. Dentro de esta limitación de dominio una función real sin tener que ser analítica real, como de la que he hablado, que es extendible a una señal analítica (https://en.wikipedia.org/wiki/Analytic_signal) en el un semiplano, sí tiene ese tipo de propiedades que son las que van a permitir integrales singulares como las de las transformadas de Hilbert que son funciones reales(partes real e imaginaria de una función holomorfa).

No te sigo. Las señales analíticas de las que hablas son funciones holomorfas que extienden a funciones de variable real, en particular analíticas. La parte real e imaginaria de cualquier función holomorfa es lo que se llama una función armónica, y las funciones armónicas son analíticas. Estás hablando en todo momento de funciones que son más restrictivas incluso que las funciones analíticas.

28 Enero, 2021, 08:04 pm
Respuesta #6

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Uff, es verdad  :banghead: , cuando me da por decir burradas no paro. Parce que ha habido cierta confusión sobre las funciones reales a que me refiero por mi falta de precisión. No son las funciones armónicas de la transformada de Hilbert sino la función respuesta \( \phi(t) \)

Creo que lo que me sonaba era el teorema de Paley-Wiener que relaciona, mediante una transformación de Fourier holomorfa:\( f(\omega)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\phi(t)e^{i\omega t}dt \),  a funciones \( \phi(t) \) (\( F(x) \) en el enlace a continuación) que cumplen ciertas condiciones con funciones enteras y en el semiplano superior o inferior según las condiciones impuestas (https://en.wikipedia.org/wiki/Paley%E2%80%93Wiener_theorem). Creo, ya no afirmo nada, que no es necesario que \( \phi(t) \) sea analítica. Esta tr. de Fourier holomorfa sería análoga a la tr. de Fourier-Laplace de mi primer mensaje(para el caso de holomorfidad en semiplano) cambiando los limites de integración por las condiciones que impone la función respuesta \( \phi(t) \) que quizás me pueda alguien aclarar que tipo de función es.

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01 Febrero, 2021, 07:28 pm
Respuesta #7

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Una función, no ya continua, sino de clase \( C^\infty \), es decir, con derivadas continuas de todos los órdenes definida en un intervalo en \( \mathbb R \) puede anularse en un intervalo menor sin ser idénticamente nula, y tal función no puede admitir una prolongación analítica.

¿Ysi en vez de una función se trata de una hiperfunción de Sato definida en la recta real?

01 Febrero, 2021, 10:23 pm
Respuesta #8

Carlos Ivorra

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¿Ysi en vez de una función se trata de una hiperfunción de Sato definida en la recta real?

No sé nada de eso. 

01 Febrero, 2021, 11:10 pm
Respuesta #9

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¿Ysi en vez de una función se trata de una hiperfunción de Sato definida en la recta real?

No sé nada de eso.
Igual no tenía que haber usado ese  palabro, por si alguien más se anima me refiero por ejemplo a distribuciones como las  "funciones" de Green, o de Dirac. En física se usan mucho.