Autor Tema: Ley de enfriamiento de Newton

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28 Enero, 2021, 01:34 am
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lukitasmatias

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
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Buenas noches, tengo una duda con respecto a este problema:

Ponemos en una habitación de temperatura de 60° F un objeto cuya temperatura es 220° F. Diez minutos más tarde la temperatura del objeto es 200° F. En este momento hacemos funcionar el equipo de refrigeración que baja la temperatura de la habitación a una velocidad de 1° F/min. ¿Cuál es la temperatura del objeto t minutos después de haber hecho funcionar el equipo?

El problema abarca la ley de enfriamiento de Newton. Normalmente había realizado problemas donde la temperatura ambiente era constante, pero en este caso, dice que la temperatura del ambiente empieza a bajar a una velocidad de 1 F/min lo cual me pone en duda al momento de resolver, puesto que no se como emplearlo. Habitualmente para resolver este tipo de problemas, empleaba lo siguiente:

\( T(t) \): Temperatura del objeto en \( t \)

\( T_A \) = Temperatura ambiente (constante) (En este caso, \( 60 \) grados \( F \) antes de hacer funcionar el equipo de refrigeración)

\( T'(t) \) = razón de cambio de la temperatura

\( T'(t) = K(T(t) - T_A ) \)

De hecho obtuve la siguiente función: \( T(t) = 60+160e^{-0,001335} \) pero no me sirve de nada puesto que la hice suponiendo que la temperatura es constante.

Como dije anteriormente, no me había topado con un ejercicio donde la temperatura ambiente comenzara a cambiar. Agradezco de antemano si me pueden guiar y explicar como emplear la ley de enfriamiento para cuando la temperatura ambiente cambia, y más en este caso que comienza a bajar a una velocidad de 1 F/min. Gracias por la atención prestada.

28 Enero, 2021, 03:15 am
Respuesta #1

Masacroso

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Por favor edita el mensaje y pon por escrito lo que está en la imagen, así lo podemos leer todos más fácilmente. Luego le echo un vistazo al ejercicio.

28 Enero, 2021, 03:37 am
Respuesta #2

lukitasmatias

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Por favor edita el mensaje y pon por escrito lo que está en la imagen, así lo podemos leer todos más fácilmente. Luego le echo un vistazo al ejercicio.

Hola, ya puse el problema en negrita y cursiva. Gracias de antemano.

28 Enero, 2021, 04:14 am
Respuesta #3

Masacroso

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Buenas noches, tengo una duda con respecto a este problema:

Ponemos en una habitación de temperatura de 60° F un objeto cuya temperatura es 220° F. Diez minutos más tarde la temperatura del objeto es 200° F. En este momento hacemos funcionar el equipo de refrigeración que baja la temperatura de la habitación a una velocidad de 1° F/min. ¿Cuál es la temperatura del objeto t minutos después de haber hecho funcionar el equipo?

El problema abarca la ley de enfriamiento de Newton. Normalmente había realizado problemas donde la temperatura ambiente era constante, pero en este caso, dice que la temperatura del ambiente empieza a bajar a una velocidad de 1 F/min lo cual me pone en duda al momento de resolver, puesto que no se como emplearlo. Habitualmente para resolver este tipo de problemas, empleaba lo siguiente:

\( T(t) \): Temperatura del objeto en \( t \)

\( T_A \) = Temperatura ambiente (constante) (En este caso, \( 60 \) grados \( F \) antes de hacer funcionar el equipo de refrigeración)

\( T'(t) \) = razón de cambio de la temperatura

\( T'(t) = K(T(t) - T_A ) \)

De hecho obtuve la siguiente función: \( T(t) = 60+160e^{-0,001335} \) pero no me sirve de nada puesto que la hice suponiendo que la temperatura es constante.

Como dije anteriormente, no me había topado con un ejercicio donde la temperatura ambiente comenzara a cambiar. Agradezco de antemano si me pueden guiar y explicar como emplear la ley de enfriamiento para cuando la temperatura ambiente cambia, y más en este caso que comienza a bajar a una velocidad de 1 F/min. Gracias por la atención prestada.

No estoy 100% seguro, un físico podrá confirmártelo mejor, pero si la temperatura del cuerpo debe seguir la ley de Newton entonces hay que resolver la ecuación diferencial \( \dot T=-k(T-T_A) \) donde

\( \displaystyle{
T_A(t):=\begin{cases}
60,& t\in[0,10]\\
70-t,& t>10
\end{cases}
} \)

Es una ecuación diferencial lineal con valor inicial \( T(0)=220 \) cuya única solución viene dada por

\( \displaystyle{
T(t)=e^{-kt}T(0)+k\int_{0}^{t}e^{-k(t-s)}T_A(s)\mathop{}\!d s
} \)

Simplemente resuelves esa integral y listo.

Añadido: se me olvidaba: el valor de 200 después de diez minutos nos sirve para calcular el valor de \( k \) que depende únicamente del objeto (creo que se llama calor específico o algo así). Es decir: una vez ya hayas resuelto la integral y tengas la solución al problema de valor inicial entonces el valor de \( k \) es el único que hace que \( T(10)=200 \).