Autor Tema: Duda en la demostración 14.22 del libro de Rudin, "Real and Complex Analysis"

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19 Enero, 2021, 09:17 pm
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Eparoh

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Hola a todos, estoy intentando entender la siguiente demostración del libro de Rudin, "Real and Complex Analysis"

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Lo que no entiendo bien es lo que he marcado en amarillo.
En primer lugar, no se a que se refiere con ese cambio, ¿ese cambio es solo para probar la convergencia de las imágenes de sucesiones que convergen a puntos de la frontera del anillo o esa sustitución se debería ya mantener durante el resto de la prueba?

Ahora, en lo que demuestra a continuación no se porque se pide que \( 1< |z_n| < 1+ \varepsilon \), puesto que en lo siguiente no veo necesidad de utilizar que \( f(z_n) \in V \). ¿Por qué se hace esto?

Por otra parte, creo que si entiendo porque \( \{f(z_n)\} \) no tiene puntos de acumulación en \( A_2 \), porque de ser así, si existiera una subsucesión \( \{f(z_{n_k})\} \)  convergente a algún punto \( w \in A_2 \), entonces

\( z_{n_k}=f^{-1}(f(z_{n_k})) \longrightarrow f^{-1}(w) \in A_1 \)

pero como \( |z_{n_k}| \) converge a \( 1 \), tendríamos que \( |f^{-1}(w)|=1 \) lo que contradice que \( f^{-1}(w) \) está en \( A_1 \).

¿Es esto correcto?

Por último, tampoco entiendo exactamente porque de lo anterior se deduce que \( |f(z_n)| \) converge a \( 1 \).

Si alguien pudiera resolverme estas dudas estaría muy agradecido.

Un saludo y como siempre, muchas gracias por su tiempo.

20 Enero, 2021, 10:45 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

En primer lugar, no se a que se refiere con ese cambio, ¿ese cambio es solo para probar la convergencia de las imágenes de sucesiones que convergen a puntos de la frontera del anillo o esa sustitución se debería ya mantener durante el resto de la prueba?

Ese cambio \( f\to R:2/f \) es para trabajar bajo la condición de que \( V\subset A(1,r) \). Fíjate que lo que haces es darle la vuelta al segundo anillo como un calcetín llevado la circunferencia externa en la interna y viceversa. Se mantiene esa condición en lo que sigue de la prueba.

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Ahora, en lo que demuestra a continuación no se porque se pide que \( 1< |z_n| < 1+ \varepsilon \), puesto que en lo siguiente no veo necesidad de utilizar que \( f(z_n) \in V \). ¿Por qué se hace esto?

A priori \( |f(z_n)| \) podría converger a \( 1 \) o a \( R_2 \). Pero como sabemos que \( f(A(1,1+\epsilon))=V\subset A(1,r) \), necesariamente \( |f(z_n)|\to 1 \).

Análogamente después si razonásemos con un \( V'=f(A(R_1-\epsilon,R_1)) \) se llega a que si \( |z_n|\to R_1 \) entonces\(  |f(z_n)|\to R_2 \).

Citar
Por otra parte, creo que si entiendo porque \( \{f(z_n)\} \) no tiene puntos de acumulación en \( A_2 \), porque de ser así, si existiera una subsucesión \( \{f(z_{n_k})\} \)  convergente a algún punto \( w \in A_2 \), entonces

\( z_{n_k}=f^{-1}(f(z_{n_k})) \longrightarrow f^{-1}(w) \in A_1 \)

pero como \( |z_{n_k}| \) converge a \( 1 \), tendríamos que \( |f^{-1}(w)|=1 \) lo que contradice que \( f^{-1}(w) \) está en \( A_1 \).

¿Es esto correcto?

Si.

Citar
Por último, tampoco entiendo exactamente porque de lo anterior se deduce que \( |f(z_n)| \) converge a \( 1 \).

Si no converge a \( 1 \), existe una subsucesión \( f(z_{n_k}) \) en el anillo \( A(1+\delta,r)\subset A_2 \) para algún \( \delta \). Esta subsucesión está en un compacto (el anillo con los bordes) y por tanto tendría una subsucesión convergente a un elemento de \( A_2 \). Pero quedamos en que eso no puede ser.

Saludos.

20 Enero, 2021, 02:29 pm
Respuesta #2

Eparoh

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Muchísimas gracias Luis, queda todo claro ahora.
La verdad es que esa parte de la prueba me parece que está explicada de forma muy liosa cuando realmente no era algo complicado.

Un saludo.

Pd.

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Ahora, en lo que demuestra a continuación no se porque se pide que \( 1< |z_n| < 1+ \varepsilon \), puesto que en lo siguiente no veo necesidad de utilizar que \( f(z_n) \in V \). ¿Por qué se hace esto?

Aquí me refería a que no veo necesario imponer que \( 1< |z_n| < 1+ \varepsilon \), pues si es \( |z_n| \) convergente a \( 1 \) esto sucederá a partir de algún punto, y trabajas con la sucesión desde dicho punto, y me estaba liando eso también porque ya no sabía si es que también había algo ahí que no entendiera.