Autor Tema: Exponencial de una matriz

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19 Enero, 2021, 05:43 pm
Respuesta #10

ancape

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....
¿Cómo se calcula la matriz inversa de $$\begin{bmatrix}-5\cos2t & -5 \sin 2t & 3e^{2t}\\ -2(\cos2t +\sin2t) & 2(\cos2t-\sin 2t) & 0\\ \cos2t & \sin2t & e^{2t}\end{bmatrix}$$? (La acabo de hacer a mano con $$M^{-1}=\frac{1}{\det M}\text{Adj}(M^t)$$)

Pero no hace falta invertir la función completa, con el valor en 0 es suficiente.

$$x(0) = \begin{bmatrix} -5 & 0 & 3 \\ -2 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$  ,  $$\dfrac{dx}{dt}(0) = \begin{bmatrix} 0& -10& 6 \\ -4& -4& 0\\ 0& 2& 2 \end{bmatrix}$$

$$A = \dfrac{dx}{dt}(0)\cdot inv(x(0)) = \begin{bmatrix} 0& -10& 6 \\ -4& -4& 0\\ 0& 2& 2 \end{bmatrix}  \begin{bmatrix} -5 & 0 & 3 \\ -2 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} 2& -5& 0\\ 1& -2& -3\\ 0& 1& 2 \end{bmatrix} $$


Queda el paso final de comprobar si $$A$$  verifica $$x' -Ax=0$$

El método de sustituir en 0 es muy sencillo pero sólo funciona para la matriz fundamental canónica \( M=e^{At} \). Efectivamente, en tal caso M'=AM y particularizando en 0 obtenemos A=M'(0). En este caso da la casualidad de que dan una matriz fundamental canónica pero podría haber sido otra matriz regular de soluciones ¿Qué haríamos entonces?

He mirado la redacción de Bobby Fischer oculta bajo el Spoiler y más concretamente el párrafo 'detF(t)≠0  se da. Para terminar, habría que comprobar F′(t)=AF(t). Pero A no se tiene. Sin embargo, sabemos que \( e^{At}=F(t)C \). Sustituyendo t=0, se obtiene I=F(0)C. De ahí, que \( e^{At}=F(t)F^{−1}(0) \)' que es clave para encontrar A.

19 Enero, 2021, 05:51 pm
Respuesta #11

ancape

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Hola

Me pregunto si del enunciado del ejercicio podía deducirse que $$A$$ era constante.

Si, lo razonable es suponer que \( A \) es constante; si se habla de una matriz, por defecto y en los contextos habituales (en el particular en del sistemas lineales de ecuaciones diferenciales), uno supone es una matriz de números reales. Lo contrario podría haberse enfatizado poniendo \( A(t) \). Por supuesto que en último caso todo esto no deja de ser cuestión de convenio.

Así lo más cómodo es operar como ha indicado Abdulai. En todo caso si con la matriz \( A \) obtenida no se cumple \( X'-AX=0 \), entonces es que no hay ninguna matriz de números reales para la cual la matriz dada sea solución fundamental del sistema.

Saludos.

Con todo el respeto (no quiero que Carlos Ivorra me diga que soy impertinente e insulto a los foreros cuando redactan algo erróneo y me quite mas puntos de mi karma), tu razonamiento es falso y en especial la frase 'no hay ninguna matriz de números reales para la cual la matriz dada sea solución fundamental del sistema' Por otra parte, si operamos como ha indicado Abdulai habría que comprobar antes que la matriz que dan es una matriz fundamental canónica.

19 Enero, 2021, 06:53 pm
Respuesta #12

Luis Fuentes

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Hola

tu razonamiento es falso y en especial la frase 'no hay ninguna matriz de números reales para la cual la matriz dada sea solución fundamental del sistema' Por otra parte, si operamos como ha indicado Abdulai habría que comprobar antes que la matriz que dan es una matriz fundamental canónica.

No hay problema, voy a ampliarlo y así puedes concretar donde ves el error.

1) Dado un sistema de ecuaciones diferenciales \( X(t)=A(t)X'(t) \) una matriz fundamental \( F(t) \) es una matriz verificando la ecuación del sistema y tal que \( F(t) \) es no singular.

2) Supongamos que la matriz del sistema es constante, es decir, \( A(t)=A \).

3) Entonces una matriz \( F(t) \) fundamental ha de verificar:

\( F'(t)=AF(t) \) para todo \( t\in \Bbb R \)

4) En particular para \( t=0 \):

\( F'(0)=AF(0)\quad \Rightarrow{}\quad A=F'(0)F(0)^{-1} \)

5) En otras palabras si \( F(t) \) es matriz fundamental y \( A(t)=A \) es constante NECESARIAMENTE: \( A=F'(0)F(0)^{-1} \)

6) Por tanto, si con la matriz \( A \) calculada en (5) no se cumple que \( F'(t)=AF(t) \) o equivalentemente que \( F'(t)-AF(t)=0 \) para todo \( t\in \Bbb R \), entonces no existe ninguna matriz de números reales \( A \) para la cual \( F(t) \) es matriz fundamental del sistema \( X'(t)=AX(t) \).

Todo esto además de motivar mi afirmación, también motiva el método de Abdulai para resolver el problema. Previamente Bobby Fischer ya apunta que ha comprobado que \( det(F(t))\neq 0 \).

En cuanto a interpretar que el enunciado ya presupone que \( A \) es una matriz de números reales (constante que no depende de \( t \)) me parece razonable, entre otras cosas, porque en otro caso como tu mismo has apuntado, la matriz siempre sería fundamental sin más que tomar \( A=F'(t)F(t)^{-1} \).

Saludos.

19 Enero, 2021, 07:16 pm
Respuesta #13

ancape

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Luis

Los puntos 1,2,3,4,5 prueban sin lugar a dudas que si A es una matriz constante entonces \( A=F'(0)*F^{-1}(0) \) y desmontan mi afirmación anterior, que no había expresado en toda su extensión. Sin embargo en el punto 6, la frase 'Todo esto además de motivar mi afirmación, también motiva el método de Abdulai para resolver el problema. Previamente Bobby Fischer ya apunta que ha comprobado que det(F(t))≠0.' me parece que no es correcta. La matriz F (matriz fundamental de un sistema) la da el problema por lo que no tiene sentido suponer que A sea o no constante. Lo será si al calcularla sale constante y no lo será si no sale y comprobamos que todo lo que hemos hecho es correcto.
Creo que en Matemáticas no se puede suponer nada en un enunciado y más si hay datos del enunciado que impiden interpretar suposiciones. Si pregunto a alguien por la derivada de \( a*x \) me responderá inmediatamente que es \( a \). Ha supuesto que es razonable que \( x \) sea una incógnita y \( a \) una constante. Si le haces la misma pregunta a un programa de cálculo como Maple o Mathematica, te dará error. Como le dije a Abdulai, el método de particularizar en \(  t=0 \) sólo funciona si la matriz dada es del tipo Matriz Fundamental Canónica. Pero la matriz nos la dieron ya y no cabe suponer que sea de una clase u otra.

No entiendo muy bien la frase 'En cuanto a interpretar que el enunciado ya presupone que A es una matriz de números reales (constante que no depende de t) me parece razonable, entre otras cosas, porque en otro caso como tu mismo has apuntado, la matriz siempre sería fundamental sin más que tomar A=F′(t)F(t)−1.
, la expresión \( F'(t)F(t)^{-1} \) no prueba que A sea constante ni que A dependa de t

19 Enero, 2021, 07:33 pm
Respuesta #14

Luis Fuentes

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Hola

Sin embargo en el punto 6, la frase 'Todo esto además de motivar mi afirmación, también motiva el método de Abdulai para resolver el problema. Previamente Bobby Fischer ya apunta que ha comprobado que det(F(t))≠0.' me parece que no es correcta. La matriz F (matriz fundamental de un sistema) la da el problema por lo que no tiene sentido suponer que A sea o no constante. Lo será si al calcularla sale constante y no lo será si no sale y comprobamos que todo lo que hemos hecho es correcto.

Lo que digo es lo siguiente. Admitamos que el enunciado deja abierta la posibilidad de que \( A \) NO sea constante. Entonces:

1) Comprobamos que \( det(F'(t))\neq 0 \) para todo \( t\in \Bbb R \). En caso contrario NO sería matriz fundamental.

2) Si se verifica lo anterior SI es matriz fundamental. Y la matriz \( A \) es \( A=F'(t)F(t)^{-1} \).

3) Ahora bien, uno dice. Antes de ponerme a calcular \( F(t)^{-1} \), para intentar hacer menos cuentas, voy a ver si \( A \) es constante. Si lo fuese se cumpliría \( A=F'(0)F(0)^{-1} \) y \( F'(t)-AF(t)=0 \). Hacemos las cuenta:

3.1) Si se cumple, hemos terminado y hemos calculado \( A \).
3.2) Si no se cumple, hemos perdido un poco el tiempo y no nos queda más remedio que remangarnos y calcular  \( A=F'(t)F(t)^{-1} \).


Citar
No entiendo muy bien la frase 'En cuanto a interpretar que el enunciado ya presupone que A es una matriz de números reales (constante que no depende de t) me parece razonable, entre otras cosas, porque en otro caso como tu mismo has apuntado, la matriz siempre sería fundamental sin más que tomar A=F′(t)F(t)−1.
, la expresión \( F'(t)F(t)^{-1} \) no prueba que A sea constante ni que A dependa de t


Esto es subjetivo. Lo que quiero decir es que si el enunciado deja abierto que \( A \) no sea constante, contestar a "Determinar si la siguiente matriz es una matriz fundamental de solución de \(  x'=Ax \)" sería simplemente verificar que no se anula \( det(F(t)) \)". Y mi sospecha es que la intención del ejercicio es algo más.

Pero insisto; esto es totalmente subjetivo. Depende de las notaciones y convenios previamente fijados.

Saludos.

20 Enero, 2021, 12:20 am
Respuesta #15

ancape

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Lo que digo es lo siguiente. Admitamos que el enunciado deja abierta la posibilidad de que \( A \) NO sea constante. Entonces:

1) Comprobamos que \( det(F'(t))\neq 0 \) para todo \( t\in \Bbb R \). En caso contrario NO sería matriz fundamental.

2) Si se verifica lo anterior SI es matriz fundamental. Y la matriz \( A \) es \( A=F'(t)F(t)^{-1} \).

3) Ahora bien, uno dice. Antes de ponerme a calcular \( F(t)^{-1} \), para intentar hacer menos cuentas, voy a ver si \( A \) es constante. Si lo fuese se cumpliría \( A=F'(0)F(0)^{-1} \) y \( F'(t)-AF(t)=0 \). Hacemos las cuenta:

3.1) Si se cumple, hemos terminado y hemos calculado \( A \).
3.2) Si no se cumple, hemos perdido un poco el tiempo y no nos queda más remedio que remangarnos y calcular  \( A=F'(t)F(t)^{-1} \).

Excelente razonamiento que cuadra perfectamente con el enunciado del problema.

Citar

Esto es subjetivo. Lo que quiero decir es que si el enunciado deja abierto que \( A \) no sea constante, contestar a "Determinar si la siguiente matriz es una matriz fundamental de solución de \(  x'=Ax \)" sería simplemente verificar que no se anula \( det(F(t)) \)". Y mi sospecha es que la intención del ejercicio es algo más.

Pero insisto; esto es totalmente subjetivo. Depende de las notaciones y convenios previamente fijados.

Saludos.

Este último párrafo me ha recordado que no es posible dar el enunciado de un problema, una definición o cualquier otra cosa sin recurrir a medias palabras y a la interpretación del que lo lee.
Efectivamente, tal y como se ha redactado el problema, nos bastaría probar que det(F) no es nulo para ver que F es matriz fundamental de un sistema x'=Ax, aunque como han añadido que en caso afirmativo calculemos A nos veríamos obligados a continuar.

Esto me recuerda algo que leí hace tiempo en un libro de Henri Poincaré sobre un ayuntamiento en el que querían prohibir que los perros sin collar paseasen por el parque. Pusieron un cartel 'Prohibido entrar al parque a los perros sin collar'. Inmediatamente un concejal observó que tal cartel no impedía entrar a los perros sin amo y que, obviamente, no saben leer por lo que tuvieron que hacer un añadido al cartel. Así continuó la cosa haciendo cada vez mas añadidos hasta que se dieron cuenta que no podían contemplar todos los supuestos y había que dejar un lugar a la interpretación de lo que se quería expresar.

Estoy buscando en los libros 'Ciencia y Método', 'La Ciencia y la Hipótesis' pero de momento no he encontrado el pasaje.
Si lo conocéis os agradecería me dieseis su localización.

Un saludo

20 Enero, 2021, 12:53 am
Respuesta #16

Bobby Fischer

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Queda el paso final de comprobar si $$A$$  verifica $$x' -Ax=0$$

Me pregunto si del enunciado del ejercicio podía deducirse que $$A$$ era constante.

Si, lo razonable es suponer que \( A \) es constante; si se habla de una matriz, por defecto y en los contextos habituales (en el particular en del sistemas lineales de ecuaciones diferenciales), uno supone es una matriz de números reales. Lo contrario podría haberse enfatizado poniendo \( A(t) \). Por supuesto que en último caso todo esto no deja de ser cuestión de convenio.

Así lo más cómodo es operar como ha indicado Abdulai. En todo caso si con la matriz \( A \) obtenida no se cumple \( X'-AX=0 \), entonces es que no hay ninguna matriz de números reales para la cual la matriz dada sea solución fundamental del sistema.

Saludos.

Sí, iba a indicármelo. De hecho, en la página 331, donde empieza, llama $$\dot{x}=Ax$$, $$x=\begin{bmatrix}{x_1}\\{\vdots}\\{x_n}\end{bmatrix}$$, $$A=\begin{bmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn}\end{bmatrix}$$.

$$\rule[3mm]{250mm}{1px}$$

Aparte de esto, es posible obtener $$A$$ por inspección de $$F(t)=\begin{bmatrix}-5\cos2t & -5 \sin 2t & 3e^{2t}\\ -2(\cos2t +\sin2t) & 2(\cos2t-\sin 2t) & 0\\ \cos2t & \sin2t & e^{2t}\end{bmatrix}$$

Pues se sabe que para un sistema $$\dot x=Ax$$, una matriz fundamental $$F(t)$$ que tenga esa forma puede proceder de una matriz $$A=PDP^{-1}$$, con $$P=\begin{bmatrix}3 & -5 & -5\\ 0 & -2+2i & -2-2i\\1 & 1 &1\end{bmatrix}$$, $$D=\begin{bmatrix}2 & &\\ & 2i & \\ & & -2i\end{bmatrix}$$, como en efecto sucede. En el caso de que los autovalores sean $$\lambda_1\in\mathbb{R}, \alpha+i\beta, \alpha-i\beta$$, con autovectores respectivos $$u, v, v^c$$, se tiene que tres soluciones linealmente independientes vienen dadas por $$e^{\lambda_1t}u$$, $$\psi(t)=\Re[e^{(\alpha+i\beta)t}v]$$ y $$\varphi(t)=\Im[e^{(\alpha+i\beta)t}v]$$, es decir $$\begin{Bmatrix}e^{\lambda_1t}u\\ \psi(t)=e^{\alpha t}(\cos\beta t \; \Re[v]-\sin \beta t\; \Im[v])\\ \varphi(t)=e^{\alpha t}(\sin \beta t\; \Re[v] +\cos\beta t\; \Im[v])\end{Bmatrix}$$. En este caso era $$F(t)=\begin{bmatrix} & & \\ \psi(t) & \varphi(t) & e^{\lambda_1t}u\\ & & \end{bmatrix}$$.