Autor Tema: Exponencial de una matriz

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19 Enero, 2021, 12:01 am
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Bobby Fischer

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Hola,

Determinar si la siguiente matriz es una matriz fundamental de solución de $$\dot{x}=Ax$$, para alguna matriz $$A$$. Si así es, encuentra $$A$$.

$$\begin{bmatrix}-5\cos2t & -5 \sin 2t & 3e^{2t}\\ -2(\cos2t +\sin2t) & 2(\cos2t-\sin 2t) & 0\\ \cos2t & \sin2t & e^{2t}\end{bmatrix}$$

Tema aparte
$$ \det F(t)\neq 0$$ se da. Para terminar, habría que comprobar $$F'(t)=AF(t)$$. Pero $$A$$ no se tiene. Sin embargo, sabemos que $$e^{At}=F(t)C$$. Sustituyendo $$t=0$$, se obtiene $$I=F(0)C$$. De ahí, que $$e^{At}=F(t)F^{-1}(0)$$.

Gracias a esto:

Código: (Matlab) [Seleccionar]
clc
syms F(t)
F(t)=[-5*cos(2*t) -5*sin(2*t) 3*exp(2*t);
    -2*(cos(2*t)+sin(2*t)) 2*(cos(2*t)-sin(2*t)) 0;
    cos(2*t) sin(2*t) exp(2*t)]
invF=inv(F);
t=0;
invF0=subs(invF(t))
syms t
expAt=F(t)*invF0

$$e^{At}=\begin{bmatrix}\frac{3}{8}e^{2t} +\frac{5}{8}(\cos 2t +\sen 2t) & -\frac{5}{2}\sen 2t & \frac{15}{8}(e^{2t}-\cos2t -\sen 2t)\\
\frac{1}{2}\sen2t & \cos2t -\sen 2t & -\frac{3}{2}\sen2t\\
\frac{1}{8}(e^{2t} -\cos2t-\sen 2t) & \frac{1}{2} \sen 2t & \frac{5}{8}e^{2t}+\frac{3}{8}(\cos2t+\sen 2t)\end{bmatrix}$$

Para calcular $$A$$:

$$e^{At}=\sum_{k=0}^\infty \dfrac{A^k t^k}{k!}=I +At+\frac{A^2t^2}{2!}+\ldots+\frac{A^n t^n}{n!}+\ldots$$

$$\dfrac{d}{dt}(e^{At})=A+A^2t+\ldots+\frac{A^n t^{n-1}}{(n-1)!}+\ldots$$

$$A=\dfrac{d}{dt}(e^{At})(0)=\begin{bmatrix}2 & -5 & 0\\ 1 & -2 & -3\\ 0 & 1 & 2\end{bmatrix}$$

Lo cual he conseguido con esto:

Código: (Matlab) [Seleccionar]
clc
syms F(t)
F(t)=[-5*cos(2*t) -5*sin(2*t) 3*exp(2*t);
    -2*(cos(2*t)+sin(2*t)) 2*(cos(2*t)-sin(2*t)) 0;
    cos(2*t) sin(2*t) exp(2*t)]
invF=inv(F);
t=0;
invF0=subs(invF(t))
syms t
expAt=F(t)*invF0
DexpAt=diff(expAt)
t=0;
DexpA0=subs(DexpAt)
A=DexpA0
syms t
DF=diff(F)
DF-A*F

B=sym(1/13*[16 -25 30; 8 -6 -24; 0 13 26])
DF-B*F % Contradiction in Braun page 538
% Solution for page 357 exercise 9 doesn't match with the
% solution to the problem.
% Differential Equations and Their Applications.
% M.Braun 3rd edition

La solución que da el libro es $$A=\frac{1}{13}\begin{bmatrix}16 & -25 & 30 \\8 & -6 & -24\\0 & 13 & 26\end{bmatrix}$$. Es decir, hay una errata.
% Contradiction in Braun page 538
% Solution for page 357 exercise 9 doesn't match with the
% solution to the problem.
% Differential Equations and Their Applications.
% M.Braun 3rd edition
[cerrar]

¿Cómo se calcula la matriz inversa de $$\begin{bmatrix}-5\cos2t & -5 \sin 2t & 3e^{2t}\\ -2(\cos2t +\sin2t) & 2(\cos2t-\sin 2t) & 0\\ \cos2t & \sin2t & e^{2t}\end{bmatrix}$$? (La acabo de hacer a mano con $$M^{-1}=\frac{1}{\det M}\text{Adj}(M^t)$$)

19 Enero, 2021, 12:54 am
Respuesta #1

ancape

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Si has calculado A, observa que \( e^{At}*e^{-At} = I \), esto es, para hallar la inversa de \( e^{At} \) basta cambiar A de signo.

19 Enero, 2021, 03:04 am
Respuesta #2

Abdulai

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....
¿Cómo se calcula la matriz inversa de $$\begin{bmatrix}-5\cos2t & -5 \sin 2t & 3e^{2t}\\ -2(\cos2t +\sin2t) & 2(\cos2t-\sin 2t) & 0\\ \cos2t & \sin2t & e^{2t}\end{bmatrix}$$? (La acabo de hacer a mano con $$M^{-1}=\frac{1}{\det M}\text{Adj}(M^t)$$)

Pero no hace falta invertir la función completa, con el valor en 0 es suficiente.

$$x(0) = \begin{bmatrix} -5 & 0 & 3 \\ -2 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$  ,  $$\dfrac{dx}{dt}(0) = \begin{bmatrix} 0& -10& 6 \\ -4& -4& 0\\ 0& 2& 2 \end{bmatrix}$$

$$A = \dfrac{dx}{dt}(0)\cdot inv(x(0)) = \begin{bmatrix} 0& -10& 6 \\ -4& -4& 0\\ 0& 2& 2 \end{bmatrix}  \begin{bmatrix} -5 & 0 & 3 \\ -2 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} 2& -5& 0\\ 1& -2& -3\\ 0& 1& 2 \end{bmatrix} $$


Queda el paso final de comprobar si $$A$$  verifica $$x' -Ax=0$$

19 Enero, 2021, 11:35 am
Respuesta #3

feriva

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¿Cómo se calcula la matriz inversa de $$\begin{bmatrix}-5\cos2t & -5 \sin 2t & 3e^{2t}\\ -2(\cos2t +\sin2t) & 2(\cos2t-\sin 2t) & 0\\ \cos2t & \sin2t & e^{2t}\end{bmatrix}$$? (La acabo de hacer a mano con $$M^{-1}=\frac{1}{\det M}\text{Adj}(M^t)$$)

Una manera cómoda de hacerlo en algunos casos (no sé si en éste; es cómodo en especial si se tiene calculado en el polinomio característico) es usar el teorema de Cayley-Hamilton (toda matriz verifica su polinomio característico)

Si, por ejemplo

\( A^{3}+A^{2}+A+I=[0]
  \)

multiplicando por \( A^{-1}
  \)

\( A^{2}+A+I+A^{-1}=[0]
  \)

\( A^{-1}=-A^{2}-A-I
  \)

Saludos.

19 Enero, 2021, 11:52 am
Respuesta #4

Masacroso

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¿Cómo se calcula la matriz inversa de $$\begin{bmatrix}-5\cos2t & -5 \sin 2t & 3e^{2t}\\ -2(\cos2t +\sin2t) & 2(\cos2t-\sin 2t) & 0\\ \cos2t & \sin2t & e^{2t}\end{bmatrix}$$? (La acabo de hacer a mano con $$M^{-1}=\frac{1}{\det M}\text{Adj}(M^t)$$)

Una manera cómoda de hacerlo en algunos casos (no sé si en éste; es cómodo en especial si se tiene calculado en el polinomio característico) es usar el teorema de Cayley-Hamilton (toda matriz verifica su polinomio característico)

Si, por ejemplo

\( A^{3}+A^{2}+A+I=[0]
  \)

multiplicando por \( A^{-1}
  \)

\( A^{2}+A+I+A^{-1}=[0]
  \)

\( A^{-1}=-A^{2}-A-I
  \)

Saludos.

Ah, ¡qué buena idea! Conocía el teorema de Cayley-Hamilton pero nunca lo había aplicado de esta manera.

19 Enero, 2021, 12:10 pm
Respuesta #5

Bobby Fischer

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¿Cómo se calcula la matriz inversa de $$\begin{bmatrix}-5\cos2t & -5 \sin 2t & 3e^{2t}\\ -2(\cos2t +\sin2t) & 2(\cos2t-\sin 2t) & 0\\ \cos2t & \sin2t & e^{2t}\end{bmatrix}$$? (La acabo de hacer a mano con $$M^{-1}=\frac{1}{\det M}\text{Adj}(M^t)$$)

Una manera cómoda de hacerlo en algunos casos (no sé si en éste; es cómodo en especial si se tiene calculado en el polinomio característico) es usar el teorema de Cayley-Hamilton (toda matriz verifica su polinomio característico)

Si, por ejemplo

\( A^{3}+A^{2}+A+I=[0]
  \)

multiplicando por \( A^{-1}
  \)

\( A^{2}+A+I+A^{-1}=[0]
  \)

\( A^{-1}=-A^{2}-A-I
  \)

Saludos.

En efecto es una buena idea. :)

....
¿Cómo se calcula la matriz inversa de $$\begin{bmatrix}-5\cos2t & -5 \sin 2t & 3e^{2t}\\ -2(\cos2t +\sin2t) & 2(\cos2t-\sin 2t) & 0\\ \cos2t & \sin2t & e^{2t}\end{bmatrix}$$? (La acabo de hacer a mano con $$M^{-1}=\frac{1}{\det M}\text{Adj}(M^t)$$)

Pero no hace falta invertir la función completa, con el valor en 0 es suficiente.

$$x(0) = \begin{bmatrix} -5 & 0 & 3 \\ -2 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$  ,  $$\dfrac{dx}{dt}(0) = \begin{bmatrix} 0& -10& 6 \\ -4& -4& 0\\ 0& 2& 2 \end{bmatrix}$$

$$A = \dfrac{dx}{dt}(0)\cdot inv(x(0)) = \begin{bmatrix} 0& -10& 6 \\ -4& -4& 0\\ 0& 2& 2 \end{bmatrix}  \begin{bmatrix} -5 & 0 & 3 \\ -2 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} 2& -5& 0\\ 1& -2& -3\\ 0& 1& 2 \end{bmatrix} $$


Queda el paso final de comprobar si $$A$$  verifica $$x' -Ax=0$$

Es curioso el rodeo que he dado.

Además de que pasé por alto que $$F\in C^1(I,\mathcal{L}(\mathbb{R^n})$$ es matriz fundamental de solución de $$\dot{x}=Ax$$ si y sólo si $$\det(F)\neq 0 \land F'=AF$$.

Mi razonamiento debería haber sido: Sea $$F\in C^1(I,\mathcal{L}(\mathbb{R^n})$$ dada. Tenemos $$\det(F)\neq 0$$, luego existe la inversa de $$F$$ para todo $$t\in I$$.
Para que sea matriz fundamental, debe cumplirse $$F'=AF$$, que se cumple si y sólo si $$A=F'(t)F^{-1}(t)\;(\forall t)$$. Calculando $$F'(t)$$ y $$F^{-1}(t)$$ y multiplicando, obtenemos $$A$$, que podría ser una función de $$t$$. Lo que ocurre es que si $$A$$ es constante, entonces $$A(t)$$ es la misma para todo $$t$$.

Me pregunto si del enunciado del ejercicio podía deducirse que $$A$$ era constante.

19 Enero, 2021, 12:26 pm
Respuesta #6

ancape

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¿Cómo se calcula la matriz inversa de $$\begin{bmatrix}-5\cos2t & -5 \sin 2t & 3e^{2t}\\ -2(\cos2t +\sin2t) & 2(\cos2t-\sin 2t) & 0\\ \cos2t & \sin2t & e^{2t}\end{bmatrix}$$? (La acabo de hacer a mano con $$M^{-1}=\frac{1}{\det M}\text{Adj}(M^t)$$)

Una manera cómoda de hacerlo en algunos casos (no sé si en éste; es cómodo en especial si se tiene calculado en el polinomio característico) es usar el teorema de Cayley-Hamilton (toda matriz verifica su polinomio característico)

Si, por ejemplo

\( A^{3}+A^{2}+A+I=[0]
  \)

multiplicando por \( A^{-1}
  \)

\( A^{2}+A+I+A^{-1}=[0]
  \)

\( A^{-1}=-A^{2}-A-I
  \)

Saludos.

La idea es buena, pero se debería calcular el polinomio característico de A, y eso no lo veo tan simple

19 Enero, 2021, 12:38 pm
Respuesta #7

ancape

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Me pregunto si del enunciado del ejercicio podía deducirse que $$A$$ era constante.

 Que la matriz A fuese constante sólo se puede ver cuando se ha calculado. El enunciado tendría que preguntar si A es constante. Dada cualquier matriz regular M es matriz fundamental de un sistema x'=Ax pues bastaría elegir \( A=M'*M^{-1} \) lo interesante es ver cuando ese producto da una matriz constante.

19 Enero, 2021, 12:49 pm
Respuesta #8

feriva

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Ah, ¡qué buena idea! Conocía el teorema de Cayley-Hamilton pero nunca lo había aplicado de esta manera.

Sí, yo tampoco lo usé para esto cuando estudié lo poco que estudié, lo vi hace unos años en un vídeo y me gustó.



La idea es buena, pero se debería calcular el polinomio característico de A, y eso no lo veo tan simple

No sé cómo serán de pesadas las cuentas; no me he puesto, ya digo.
Es un método alternativo, a lo mejor unas veces es más cómodo con la matriz adjunta, como ha hecho Bobby y otras usando Gauss-Jordan... O también dependerá de la costumbre que tenga cada uno.


Saludos.

19 Enero, 2021, 05:08 pm
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Hola

Me pregunto si del enunciado del ejercicio podía deducirse que $$A$$ era constante.

Si, lo razonable es suponer que \( A \) es constante; si se habla de una matriz, por defecto y en los contextos habituales (en el particular en del sistemas lineales de ecuaciones diferenciales), uno supone es una matriz de números reales. Lo contrario podría haberse enfatizado poniendo \( A(t) \). Por supuesto que en último caso todo esto no deja de ser cuestión de convenio.

Así lo más cómodo es operar como ha indicado Abdulai. En todo caso si con la matriz \( A \) obtenida no se cumple \( X'-AX=0 \), entonces es que no hay ninguna matriz de números reales para la cual la matriz dada sea solución fundamental del sistema.

Saludos.