Autor Tema: ¿Biyección incorrecta de las funciones trigonométricas inversas?

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15 Enero, 2021, 07:56 am
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Marcos Castillo

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Hola, amigos

Tengo un texto que creo que tiene una errata. Lo escribo intercalando en cursiva mis opiniones.
 
"Hemos visto que todo número complejo se puede representar mediante un punto del plano llamado afijo. A cada número complejo, le corresponde el punto de coordenadas cartesianas \( (a,b) \).
Recordemos la definición de las razones trigonométricas de un ángulo agudo. Se forma un triángulo rectángulo, uno de cuyos ángulos agudos es \( \alpha \).

Se llama seno del ángulo a al cociente entre el cateto opuesto al ángulo \( \alpha \) y la hipotenusa. Se llama coseno del ángulo \( \alpha \) al cociente entre el cateto contiguo al ángulo \( \alpha \) y el cateto contiguo.
A partir de estas definiciones, se amplía el concepto de función trigonométrica a ángulos de la primera circunferencia construyendo la circunferencia goniométrica (de radio unidad) y considerando la biyección entre los puntos de la circunferencia que forma la recta \( OP \) con el eje de abscisas de la forma \( x=\cos{\alpha} \) e \( y=\sin{\alpha} \). Esta forma de asignación es totalmente concordante con las definiciones dadas anteriormente de las razones trigonométricas para un ángulo agudo (...).

Posteriormente, considerando la medida de ángulos en radianes, que son números reales, se amplía el concepto de función trigonométrica a cualquier número real. Cualquier número real se puede considerar como un ángulo de la primera circunferencia y un número entero de circunferencias completas.
Podemos entonces considerar las funciones trigonométricas

\( \sin:\mathbb{R}\rightarrow{[-1,1]} \)
\( \cos:\mathbb{R}\rightarrow{[-1,1]} \)
\( \tan:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}} \)

Estas funciones no son biyectivas, pero si consideramos como conjunto origen, en vez de toda la recta real, el intervalo \( [-\pi,\pi] \), que es lo que hacen las calculadoras - aquí está el fallo: las calculadoras como la Casio fx-82MS consideran a \( (-\pi,\pi] \),  con las funciones Pol( y Rec( -, sí son biyectivas y es posible definir la funciones trigonométricas inversas

\( \sin^{-1}:[-1,1]\rightarrow{[-\pi,\pi]} \)
\( \cos^{-1}:[-1,1]\rightarrow{[-\pi,\pi]} \)
\( \tan^{-1}:\mathbb{R}\rightarrow{[-\pi,\pi]} \)

¿No debería poner?:

\( \sin^{-1}:[-1,1]\rightarrow{(-\pi,\pi]} \)
\( \cos^{-1}:[-1,1]\rightarrow{(-\pi,\pi]} \)
\( \tan^{-1}:\mathbb{R}\rightarrow{(-\pi,\pi]} \)

Este intervalo – continúa el texto - \( [-\pi,\pi] \) se ha elegido por convenio para definir las funciones trigonométricas inversas; pero podría haberse elegido cualquier otro."

La calculadora mía pasa de cartesianas a polares  y viceversa. En la guía de usuario dice: “Especifique la unidad angular antes de realizar cálculos. El resultado del cálculo de \( \theta \) está definido en el intervalo de \( -180°<\theta\leq{180°} \)”. ¿Esto es compatible con el texto citado?; es decir, ¿es posible establecer una biyección \( \tan^{-1}:\mathbb{R}\rightarrow{(-\pi,\pi]} \).

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

15 Enero, 2021, 08:12 am
Respuesta #1

Masacroso

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¿No debería poner?:

\( \sin^{-1}:[-1,1]\rightarrow{(-\pi,\pi]} \)
\( \cos^{-1}:[-1,1]\rightarrow{(-\pi,\pi]} \)
\( \tan^{-1}:\mathbb{R}\rightarrow{(-\pi,\pi]} \)

Este intervalo – continúa el texto - \( [-\pi,\pi] \) se ha elegido por convenio para definir las funciones trigonométricas inversas; pero podría haberse elegido cualquier otro."

La calculadora mía pasa de cartesianas a polares  y viceversa. En la guía de usuario dice: “Especifique la unidad angular antes de realizar cálculos. El resultado del cálculo de \( \theta \) está definido en el intervalo de \( -180°<\theta\leq{180°} \)”. ¿Esto es compatible con el texto citado?; es decir, ¿es posible establecer una biyección \( \tan^{-1}:\mathbb{R}\rightarrow{(-\pi,\pi]} \).

¡Un saludo!

Lo que debería ser es

\( \displaystyle{
\sin ^{-1}:[-1,1]\to [-\pi/2,\pi/2]\\
\cos ^{-1}:[-1,1]\to [0,\pi]\\
\tan ^{-1}:\mathbb{R}\to (-\pi/2,\pi/2)
} \)

La razón es fácil de ver geométricamente: una función continua real (es decir, con dominio un intervalo en \( \mathbb{R} \) y codominio en \( \mathbb{R} \)) es invertible si y solo si es estrictamente monótona, por eso las funciones seno, coseno o tangente son invertibles en regiones en las que son estrictamente crecientes o estrictamente decrecientes.

Quizá el texto se refiera a la función \( f: (-\pi,\pi]\to \mathbb{S}^1,\, t\mapsto (\cos t,\sin t) \) la cual es continua e invertible (aunque su inversa no es continua). Ahí \( \mathbb{S}^1:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x^2+y^2=1\} \).

15 Enero, 2021, 02:56 pm
Respuesta #2

Marcos Castillo

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¡Hola, Masacroso!

Sí, son como dices las funciones trigonométricas inversas. ¿Pero si se me ocurre coger la circunferencia goniométrica, y mido \( \pi \) desde el eje positivo de abscisas, en sentido antihorario, hasta el eje negativo de las abscisas, por un lado, y, por otro lado mido \( -\pi \) desde el eje positivo de abscisas, pero en sentido horario, hasta el eje negativo de abscisas? ¿cambia algo?;¿podría ser \( [-\pi,\pi] \) el conjunto final de las funciones trigonométricas inversas?.

Un saludo
No man is an island (John Donne)

15 Enero, 2021, 03:46 pm
Respuesta #3

Masacroso

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¡Hola, Masacroso!

Sí, son como dices las funciones trigonométricas inversas. ¿Pero si se me ocurre coger la circunferencia goniométrica, y mido \( \pi \) desde el eje positivo de abscisas, en sentido antihorario, hasta el eje negativo de las abscisas, por un lado, y, por otro lado mido \( -\pi \) desde el eje positivo de abscisas, pero en sentido horario, hasta el eje negativo de abscisas? ¿cambia algo?;¿podría ser \( [-\pi,\pi] \) el conjunto final de las funciones trigonométricas inversas?.

Un saludo

No, no podría, y es porque la función original (es decir el coseno, seno o la tangente) no son inyectivas en el conjunto \( [-\pi,\pi] \), por ejemplo tenemos que \( \cos (\pi/2)=\cos (-\pi/2)=0 \) por tanto el valor de \( \cos ^{-1}(0) \) habría que elegirlo entre dos, y una función inversa requiere que exista un único valor posible para cada punto del dominio. Y en general tenemos que, tanto para seno y coseno, para cada valor de \( [-1,1] \) existen dos valores posibles para las inversas en \( [-\pi,\pi] \).

15 Enero, 2021, 10:14 pm
Respuesta #4

Marcos Castillo

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Realmente no sé qué decir  :-\: me debato entre la segunda edición de un libro de autores de prestigio y la lógica aplastante de este último mensaje.
Mañana abriré otro hilo para citar el libro.
¡Gracias, Masacroso!
No man is an island (John Donne)

16 Enero, 2021, 09:13 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

 El libro pone esto:



 Y si, está mal. Es una errata. Para que las aplicaciones sean biyectivas los dominios han de ser los indicados por Masacroso.

 No debe de sorprendente que los libros tengan errores y erratas. Incluso de los más prestigiosos autores. Es algo común. Debes de tener confianza en tu propia capacidad crítica y de razonamiento.

 Sospecho que ahí los autores estaban pensando en algo de esto:

Citar
Quizá el texto se refiera a la función \( f: (-\pi,\pi]\to \mathbb{S}^1,\, t\mapsto (\cos t,\sin t) \) la cual es continua e invertible (aunque su inversa no es continua). Ahí \( \mathbb{S}^1:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x^2+y^2=1\} \).

 Es decir que conocidos coseno y seno (AMBOS) uno puede recuperar el ángulo en \( (-\pi,\pi] \). Pero sea como sea no hay que liarse; claramente es un error.

Saludos.

16 Enero, 2021, 10:05 am
Respuesta #6

Marcos Castillo

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¡Has encontrado el libro!

Gracias, Luis, estaba empecinado en buscar una lógica al texto; impresionado por la envergadura de los autores, y el hecho de encontrarme ante una segunda impresión del libro. No sabes cuánto os agradezco, Luis, Masacroso, el haberme abierto los ojos.

Me queda un ligero desencanto, por haber invertido tantas energías y dicho tantas especulaciones argumentativas (como cuando he hablado del intervalo \( [-\pi,\pi] \) como ángulos de la goniométrica medidos en sentido horario y antihorario, respectivamente).

No obstante, y a pesar del desengaño, no voy a regalar el libro a la Biblioteca Municipal. No de momento. Primero porque contiene errores de bulto, y no ayudaría a un potencial lector; y segundo porque también tiene aciertos, como la determinación del argumento en base a la función \( \tan^{-1} \) y conocido el afijo del complejo.

¡De buena me habéis rescatado!.

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)