Autor Tema: Serie de Fourier del coseno hiperbólico

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11 Enero, 2021, 08:18 pm
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OriolRama

  • $$\Large \color{#5372a0}\pi\,\pi$$
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Hola otra vez! Muchas gracias!
Haciendo el ejercicio como me has dicho, con la base \( cos(2\pi nx), sin(2\pi nx) \) me sale a la perfección pero he estado a punto de morir integrando!!!!!! :laugh: :laugh:
Luego me ha parecido """trivial""" la igualdad. Muchas gracias!

Puedo hacerte una pregunta? No es del mismo tema pero no quiero abrir uno nuevo; si no lo abro!

El hecho es que me piden el desarrollo de Fourier de \( cosh(2\pi x) \), lo he calculado con las dos bases y aquí sus respectivas series:

\( Sf(x)=\displaystyle\frac{e^\pi-e^{-\pi}}{\pi}(1/2+\displaystyle\sum_{n\geq{1}}{\displaystyle\frac{(-1)^n}{n^2+1}cos(2\pi nx)}) \), puesto que el coseno hiperbólico es par no hay\( B_n \).
\( Sf(x)=\displaystyle\frac{e^\pi-e^{-\pi}}{2\pi}+\displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{Z}, n\neq0}{\displaystyle\frac{(-1)^n}{n^2+1}(e^\pi-e^{-\pi})}e^{2\pi  i nx}=\displaystyle\frac{e^\pi-e^{-\pi}}{\pi}(1/2+\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{Z},n\neq0}{\displaystyle\frac{(-1)^n}{n^2+1}e^{2\pi inx}})\\
=??????=\displaystyle\frac{e^\pi-e^{-\pi}}{\pi}(1/2+2\displaystyle\sum_{n\geq{1}}{\displaystyle\frac{(-1)^n}{n^2+1}e^{2\pi inx}}) \).
La última igualdad no sé si es correcta, puesto que me piden demostrar que: \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{n^2+1}}=\pi coth(\pi)/2-1/2 \):
Si sustituyo por \( 1/2 \) en la primera série de Fourier me sale bien.
Pero el segundo desarrollo me sobra un 2:
\( f(1/2)=cosh(\pi)=Sf(1/2)=\displaystyle\frac{e^\pi-e^{-\pi}}{\pi}(1/2+2\displaystyle\sum_{n\geq{1}}{\displaystyle\frac{(-1)^n}{n^2+1}e^{\pi in}})\\
\Longleftrightarrow\displaystyle\frac{cosh(\pi)\pi}{e^\pi-e^{-\pi}}-1/2=2\displaystyle\sum_{n\geq{1}}{\displaystyle\frac{(-1)^n}{n^2+1}(-1^n)}\Longleftrightarrow\displaystyle\sum_{n\geq{1}}{\displaystyle\frac{1}{n^2+1}}=\pi coth(\pi)/2-1/4 \). Me sobra un medio. No sé porqué.

Me parece que donde hay ??????????? esa igualdad está mal. ¿Podrías ayudarme? :'( :banghead:




Muchas gracias!

\( \LaTeX \) corregido desde la moderación.

11 Enero, 2021, 09:19 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Puedo hacerte una pregunta? No es del mismo tema pero no quiero abrir uno nuevo; si no lo abro!


He dividido el tema en dos. La próxima vez mejor abres un tema nuevo, ¿ok? También te he modificado un poco el \( \LaTeX \) porque se salía fuera de la pantalla. Utiliza dos barras \\ para separar las matemáticas que escribas en líneas. Tampoco hace falta que utilices el comando \displaystyle más de una vez dentro de las etiquetas de tex, con ponerlo al inicio ya afecta a todo lo que venga detrás.

Citar
El hecho es que me piden el desarrollo de Fourier de \( cosh(2\pi x) \), lo he calculado con las dos bases y aquí sus respectivas series:

\( Sf(x)=\displaystyle\frac{e^\pi-e^{-\pi}}{\pi}(1/2+\displaystyle\sum_{n\geq{1}}{\displaystyle\frac{(-1)^n}{n^2+1}cos(2\pi nx)}) \), puesto que el coseno hiperbólico es par no hay\( B_n \).
\( Sf(x)=\displaystyle\frac{e^\pi-e^{-\pi}}{2\pi}+\displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{Z}, n\neq0}{\displaystyle\frac{(-1)^n}{n^2+1}(e^\pi-e^{-\pi})}e^{2\pi  i nx}=\displaystyle\frac{e^\pi-e^{-\pi}}{\pi}(1/2+\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{Z},n\neq0}{\displaystyle\frac{(-1)^n}{n^2+1}e^{2\pi inx}})\\
=??????=\displaystyle\frac{e^\pi-e^{-\pi}}{\pi}(1/2+2\displaystyle\sum_{n\geq{1}}{\displaystyle\frac{(-1)^n}{n^2+1}e^{2\pi inx}}) \).
La última igualdad no sé si es correcta, puesto que me piden demostrar que: \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{n^2+1}}=\pi coth(\pi)/2-1/2 \):
Si sustituyo por \( 1/2 \) en la primera série de Fourier me sale bien.
Pero el segundo desarrollo me sobra un 2:
\( f(1/2)=cosh(\pi)=Sf(1/2)=\displaystyle\frac{e^\pi-e^{-\pi}}{\pi}(1/2+2\displaystyle\sum_{n\geq{1}}{\displaystyle\frac{(-1)^n}{n^2+1}e^{\pi in}})\\
\Longleftrightarrow\displaystyle\frac{cosh(\pi)\pi}{e^\pi-e^{-\pi}}-1/2=2\displaystyle\sum_{n\geq{1}}{\displaystyle\frac{(-1)^n}{n^2+1}(-1^n)}\Longleftrightarrow\displaystyle\sum_{n\geq{1}}{\displaystyle\frac{1}{n^2+1}}=\pi coth(\pi)/2-1/4 \). Me sobra un medio. No sé porqué.

Me parece que donde hay ??????????? esa igualdad está mal. ¿Podrías ayudarme? :'( :banghead:




Muchas gracias!

Es que depende de qué trozo del coseno hiperbólico estés haciendo la serie de Fourier, entonces saldrán unos coeficientes u otros. Por ejemplo si tienes \( f:[0,1]\to \mathbb{R},\, t\mapsto \cosh (2\pi t) \) entonces te queda que \( \hat f(n)=\frac{\sinh (\pi ) (\cosh (\pi )+i n \sinh (\pi ))}{\pi  \left(n^2+1\right)} \) según el amigo Wolfram, y sin embargo si es \( g:[-1/2,1/2]\to \mathbb{R},\, t \mapsto \cosh (2\pi t) \) entonces te queda que \( \hat g(n)=(-1)^n \sinh (\pi)\frac1{\pi(1+n^2)} \).

Añado: asumo que debe ser la función \( g \), y según como ibas tienes que

\( \displaystyle{
Sf(x)=\frac{e^\pi-e^{-\pi}}{2\pi}+\frac{1}{\pi}\sum_{n\in\mathbb{Z}, n\neq0}{\frac{(-1)^n}{n^2+1}(e^\pi-e^{-\pi})}e^{2\pi  i nx}=\frac{\sinh \pi}{\pi}\left(1+2\sum_{n\in\mathbb Z\setminus\{0\}}\frac{(-1)^n}{1+n^2}e^{i 2\pi nt}\right)
} \)

ya que \( \sinh \pi=\frac{e^{\pi}-e^{-\pi}}{2} \). Por tanto parece que tienes un dos de más, revisa los cálculos que has hecho de \( \hat g(n) \). Además la igualdad después de los signos de interrogación no tiene sentido.