Autor Tema: Serie de Fourier

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10 Enero, 2021, 08:11 pm
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OriolRama

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Hola! Me podrías ayudar a estudiar la serie de Fourier de la siguiente función? En un momento pensaba que era fácil;
Definimos la siguiente función para \( r\neq0 \),
\( f_{r}(x)=e^{-2\pi r x}  \) definida en \( x\in(-1/2,1/2) \) 1-periódica.
Bueno, primero calculo los coeficientes:
\( f_{r}(n)=\displaystyle\int_{-1/2}^{1/2}e^{-2\pi r x}e^{-2\pi i n x}dx=\int_{-1/2}^{1/2}e^{-2\pi x(r-in)}dx=\displaystyle\frac{-1}{2 \pi(r-in)}(e^{-\pi n}e^{\pi i n}-e^{\pi r}e^{-\pi i n})=...=\displaystyle\frac{(-1)^n}{2\pi(r-in)}(e^{-\pi r}-e^{\pi r}) \).
Yo jugaría que hasta aquí bien.
Entonces, la serie :
\( \displaystyle\sum_{n\in\mathbb{Z}, n\neq0}\displaystyle\frac{(-1)^n}{2\pi(r-in)}(e^{-\pi r}-e^{\pi r})e^{2\pi i n x} \).
El problema es que me piden calcular \( \displaystyle\sum_{n\geq{1}}\frac{(-1)^n}{n^2+r^2} \) y tengo serios problemas en calcular la suma, lo que me hace pensar que me he equivocado en calcular la serie de Fourier.

Alguna sugerencia?
Muchas gracias!

10 Enero, 2021, 09:48 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Hola! Me podrías ayudar a estudiar la serie de Fourier de la siguiente función? En un momento pensaba que era fácil;
Definimos la siguiente función para \( r\neq0 \),
\( f_{r}(x)=e^{-2\pi r x}  \) definida en \( x\in(-1/2,1/2) \) 1-periódica.
Bueno, primero calculo los coeficientes:
\( f_{r}(n)=\displaystyle\int_{-1/2}^{1/2}e^{-2\pi r x}e^{-2\pi i n x}dx=\int_{-1/2}^{1/2}e^{-2\pi x(r-in)}dx=\displaystyle\frac{-1}{2 \pi(r-in)}(e^{-\pi n}e^{\pi i n}-e^{\pi r}e^{-\pi i n})=...=\displaystyle\frac{(-1)^n}{2\pi(r-in)}(e^{-\pi r}-e^{\pi r}) \).
Yo jugaría que hasta aquí bien.
Entonces, la serie :
\( \displaystyle\sum_{n\in\mathbb{Z}, n\neq0}\displaystyle\frac{(-1)^n}{2\pi(r-in)}(e^{-\pi r}-e^{\pi r})e^{2\pi i n x} \).
El problema es que me piden calcular \( \displaystyle\sum_{n\geq{1}}\frac{(-1)^n}{n^2+r^2} \) y tengo serios problemas en calcular la suma, lo que me hace pensar que me he equivocado en calcular la serie de Fourier.

Alguna sugerencia?
Muchas gracias!


Has calculado la serie de Fourier utilizando la base ortonormal \( e^{2\pi i nx} \), ahora si observas la serie que tienes es en \( \mathbb N\setminus \{0\} \), no en \( \mathbb{Z}\setminus \{0\} \), te toca sumar miembros dos o a dos, es decir, se puede demostrar que

\( \displaystyle{
\sum_{n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}}\hat {f_r}(n)e^{2\pi inx}=\sum_{n\geqslant 1}(\hat {f_r}(n)e^{2\pi i nx}+\hat {f_r}(-n)e^{-2\pi i nx})
} \)

donde la segunda serie es la misma que si hubiésemos utilizado la base ortonormal de senos y cosenos.