Autor Tema: Intercambio de sumatorio e integral

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10 Enero, 2021, 08:01 pm
Respuesta #20

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Gracias Carlos y Masacroso por confirmarlo. Y me resulta interesante el apunte de que aunque la prueba sea más farragosa, se puede hacer dentro del ámbito de la integral de Riemann. Bueno, el caso es que la igualdad es válida y converge y permite lo importante aquí, a mi cortísimo entender, que es tener una representación integral en la prolongación de \( \zeta(s) \)  no sujeta a cotas de \( s \) real que tienen las representaciones en series de Dirichlet de \( \zeta(s) \) en semiplanos meromorfos.

17 Enero, 2021, 12:35 pm
Respuesta #21

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La función \( \zeta(s) \) se define extendiendo una función real de variable real. Si cambias la rama del logaritmo, ya no tienes la función  \( \zeta(s) \), sino otra. No puedes elegir la rama para obtener precisamente la función  \( \zeta(s) \).
Se me pasó comentar esto que no estoy seguro de estar interpretando bien. La elección de rama fija del logaritmo viene de la potencia compleja \( n^s \) en el denominador de la representación de \( \zeta(s) \) como serie de Dirichlet cuando se cambia la variable de la función a compleja. Si uso la fórmula para \( n \) real   tengo \( n^s=e^{s\log n} \) de modo que el cambio de una rama a otra es simplemente multiplicar por 1 y no cambia la fórmula. Otra cosa diferente del tema de la multivaluación aunque relacionada con la rama creo que es el hecho de que extender analíticamente una función real de variable real me obligue a usar una determinación con un corte de rama en la recta real (como en la determinación principal) para que los valores del logaritmo en la recta real permanezcan reales. Si no es a esto a lo que te refieres arriba no sé si lo he enetendido.

17 Enero, 2021, 01:21 pm
Respuesta #22

Carlos Ivorra

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Yo te respondía a esto:

Por otro lado me pregunto que si la extensión analítica de función univaluada tiene que ser posible elijamos la rama del logaritmo que elijamos que define \( n^{-s} \) en la serie de Dirichlet de la función \( \zeta(s) \), si no será más conveniente usar en general el teorema de convergencia dominada.

Entendí que te referías a la posibilidad de definir  \( n^{-s}=e^{-n\log s} \)  mediante una rama holomorfa del logaritmo que haga que \( \log s \) no sea el logaritmo real, sino otro cualquiera de los logaritmos \( \log s + 2k\pi i \), para un \( k \) entero fijo. Y te decía que la función que obtendrías así ya no sería la función dseta.

17 Enero, 2021, 01:44 pm
Respuesta #23

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Entendí que te referías a la posibilidad de definir  \( n^{-s}=e^{-n\log s} \)  mediante una rama holomorfa del logaritmo que haga que \( \log s \) no sea el logaritmo real, sino otro cualquiera de los logaritmos \( \log s + 2k\pi i \), para un \( k \) entero fijo. Y te decía que la función que obtendrías así ya no sería la función dseta.
Vale , esto sí que lo entendí. Entonces, tanto en el caso de \( \Gamma(s) \) como en \( \zeta(s) \) holomorfos en semiplanos se debe usar la rama real por esto, porque extendemos una función real, no por multivaluación del logaritmo que aquí no se da, ¿no? Es que he visto en algunas notas referirse a que se escoge la rama principal por multivaluación del logaritmo complejo.

17 Enero, 2021, 01:51 pm
Respuesta #24

Carlos Ivorra

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Entonces, tanto en el caso de \( \Gamma(s) \) como en \( \zeta(s) \) holomorfos en semiplanos se debe usar la rama real por esto, porque extendemos una función real, no por multivaluación del logaritmo que aquí no se da, ¿no? Es que he visto en algunas notas referirse a que se escoge la rama principal por multivaluación del logaritmo complejo.

No estoy seguro de entenderte. Hay que usar la rama del logaritmo que extiende al logaritmo real para que la función obtenida extienda a la función real de partida. El hecho de que el logaritmo sea multivaluado obliga a elegir una rama, y la elección de hace de modo que la función extienda a la función real.

17 Enero, 2021, 01:56 pm
Respuesta #25

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Entonces, tanto en el caso de \( \Gamma(s) \) como en \( \zeta(s) \) holomorfos en semiplanos se debe usar la rama real por esto, porque extendemos una función real, no por multivaluación del logaritmo que aquí no se da, ¿no? Es que he visto en algunas notas referirse a que se escoge la rama principal por multivaluación del logaritmo complejo.

No estoy seguro de entenderte. Hay que usar la rama del logaritmo que extiende al logaritmo real para que la función obtenida extienda a la función real de partida. El hecho de que el logaritmo sea multivaluado obliga a elegir una rama, y la elección de hace de modo que la función extienda a la función real.
Me refiero a que la elección de rama del logaritmo suele considerarse una cuestión de simple convención o conveniencia y da igual cual se elija si luego se mantiene, pero en este caso de la extensión de una función real la elección solo es entre semieje real positivo o negativo, o sea la rama principal de positivos o la de negativos.

17 Enero, 2021, 02:28 pm
Respuesta #26

Carlos Ivorra

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Me refiero a que la elección de rama del logaritmo suele considerarse una cuestión de simple convención o conveniencia y da igual cual se elija si luego se mantiene, pero en este caso de la extensión de una función real la elección solo es entre semieje real positivo o negativo, o sea la rama principal de positivos o la de negativos.

No sé a qué te refieres con elegir entre el semieje real positivo o negativo. El logaritmo real está definido sobre el semieje real positivo, y necesitas una rama holomorfa que coincida con él en el semieje real positivo. La extensión es única y no tienes ningún margen de elección.

17 Enero, 2021, 02:37 pm
Respuesta #27

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Me refiero a que la elección de rama del logaritmo suele considerarse una cuestión de simple convención o conveniencia y da igual cual se elija si luego se mantiene, pero en este caso de la extensión de una función real la elección solo es entre semieje real positivo o negativo, o sea la rama principal de positivos o la de negativos.

No sé a qué te refieres con elegir entre el semieje real positivo o negativo. El logaritmo real está definido sobre el semieje real positivo, y necesitas una rama holomorfa que coincida con él en el semieje real positivo. La extensión es única y no tienes ningún margen de elección.
Sí, bueno, en el caso de la serie sólo hay una opción. En la representación integral yo he visto hacer el corte de rama tanto en el semieje real negativo(rama pricipal), como en el positivo por ejemplo el artículo original de Riemann sobre primos usa \( (-x)^{s-1} \) y pone el corte en el semieje real positivo. Eso es lo que quería decir con elegir entre semieje positivo y negativo.
Pero claro al final la elección es única.