Autor Tema: Intercambio de sumatorio e integral

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08 Enero, 2021, 12:28 pm
Respuesta #10

Carlos Ivorra

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En tu \( \Gamma(s)\zeta(s, a)=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-nt}e^{-at}t^{s-1}dt \) el integrando es positivo y por eso usas el teorema de convergencia monótona, mientras que en \( \Gamma(s)\zeta(s)=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-nt}t^{s-1}dt \) el integrando no lo es y se usaría el teorema más general de convergencia dominada?

¿Ves cómo hace falta escribir las cosas para entenderse?  ¿Por qué dices que en el segundo caso el integrando no es positivo? Si \( s \) es real, todo es positivo, las exponenciales con cualquier base positiva son positivas.

08 Enero, 2021, 01:42 pm
Respuesta #11

Restituto

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En tu \( \Gamma(s)\zeta(s, a)=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-nt}e^{-at}t^{s-1}dt \) el integrando es positivo y por eso usas el teorema de convergencia monótona, mientras que en \( \Gamma(s)\zeta(s)=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-nt}t^{s-1}dt \) el integrando no lo es y se usaría el teorema más general de convergencia dominada?

¿Ves cómo hace falta escribir las cosas para entenderse?
Procuraré hacerlo a partir de ahora.

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¿Por qué dices que en el segundo caso el integrando no es positivo? Si \( s \) es real, todo es positivo, las exponenciales con cualquier base positiva son positivas.
Si, claro, me expresé mal.Me estoy haciendo algo de lío buscando un ejemplo en el que la secuencia de funciones cambie de creciente a decreciente o viceversa que justifique tener que usar el teorema más general y pensé que la segunda igualdad era un ejemplo porque es donde he visto usar el teorema de convergencia dominada para el cambio de orden de suma e integral.

08 Enero, 2021, 02:16 pm
Respuesta #12

Restituto

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Por otro lado cuando hablas de base positiva, no sé porque asumes que no se puede usar -t en vez de t en el caso general (por ejemplo con la rama del logaritmo en el semieje real positivo se puede usar -t.

08 Enero, 2021, 02:28 pm
Respuesta #13

Carlos Ivorra

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Por otro lado cuando hablas de base positiva, no sé porque asumes que no se puede usar -t en vez de t en el caso general (por ejemplo con la rama del logaritmo en el semieje real positivo se puede usar -t.

Yo estaba hablando de:

... en \( \Gamma(s)\zeta(s)=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-nt}t^{s-1}dt \) el integrando no lo es y se usaría el teorema más general de convergencia dominada?

Y ahí \( t \) recorre los números reales positivos. No estoy asumiendo nada. Simplemente me ciño al caso que has planteado.

Por otro lado, no acabo de entender qué te propones. Si para demostrar algo se puede usar un teorema, ¿qué importa que en otro caso distinto no se pudiera usar? Eso no altera que la demostración esté bien. Si se usan varios teoremas de convergencia es porque a veces se pueden usar unos y a veces otros (y a veces los varios y a veces ninguno).

08 Enero, 2021, 02:45 pm
Respuesta #14

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Por otro lado cuando hablas de base positiva, no sé porque asumes que no se puede usar -t en vez de t en el caso general (por ejemplo con la rama del logaritmo en el semieje real positivo se puede usar -t.

Yo estaba hablando de:

... en \( \Gamma(s)\zeta(s)=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-nt}t^{s-1}dt \) el integrando no lo es y se usaría el teorema más general de convergencia dominada?

Y ahí \( t \) recorre los números reales positivos. No estoy asumiendo nada. Simplemente me ciño al caso que has planteado.
Ok, captado. Me puse a pensar en un caso más general.


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Por otro lado, no acabo de entender qué te propones. Si para demostrar algo se puede usar un teorema, ¿qué importa que en otro caso distinto no se pudiera usar? Eso no altera que la demostración esté bien. Si se usan varios teoremas de convergencia es porque a veces se pueden usar unos y a veces otros (y a veces los varios y a veces ninguno).
Sólo me propongo entender bien cada paso y el porqué de que unas veces se use un teorema y otras veces otro, pero ya he entendido cómo depende de las hipótesis de cada prueba. Por otro lado me pregunto que si la extensión analítica de función univaluada tiene que ser posible elijamos la rama del logaritmo que elijamos que define \( n^-s \) en la serie de Dirichlet de la función \( \zeta(s) \), si no será más conveniente usar en general el teorema de convergencia dominada.

08 Enero, 2021, 02:56 pm
Respuesta #15

Carlos Ivorra

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Por otro lado me pregunto que si la extensión analítica de función univaluada tiene que ser posible elijamos la rama del logaritmo que elijamos que define \( n^{-s} \) en la serie de Dirichlet de la función \( \zeta(s) \), si no será más conveniente usar en general el teorema de convergencia dominada.

No te sigo. La función \( \zeta(s) \) se define extendiendo una función real de variable real. Si cambias la rama del logaritmo, ya no tienes la función  \( \zeta(s) \), sino otra. No puedes elegir la rama para obtener precisamente la función  \( \zeta(s) \). Así que no entiendo qué quieres decir con "usar en general el teorema de la convergencia dominada". ¿En qué generalidad estás pensando? Para demostrar la relación de la que hablas sirven los dos teoremas, y es irrelevante usar uno u otro. Si quieres pensar "en general" tendrás que precisar qué grado de generalidad consideras, porque, sin duda, habrá situaciones parecidas en los que pase lo mismo, otras en las que sirva un teorema y no otro, etc., pero todo depende de "cómo de parecidas" sean las situaciones.

No sé si me explico (o no sé si te entiendo): no le veo el sentido a plantearse si es más conveniente usar un teorema u otro en una situación en función de si en otra situación distinta podríamos usar uno u otro.

08 Enero, 2021, 05:54 pm
Respuesta #16

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Vale, entiendo que es irrelevante usar uno u otro en este caso. Caso cerrado, gracias.

10 Enero, 2021, 06:35 pm
Respuesta #17

Restituto

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Anda, resulta que en el Conway ("Funciones de una variable compleja" pgs.188-9 de su versión en inglés) no parece usar ninguno de los 2 teoremas de Lebesgue para probar el intercambio de suma e integral en la igualdad \( \zeta(s)\Gamma(s)=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-nt}t^{s-1}dt} \), así que ¿se puede probar sin recurrir a alguno de ellos?

10 Enero, 2021, 06:47 pm
Respuesta #18

Masacroso

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Anda, resulta que en el Conway ("Funciones de una variable compleja" pgs.188-9 de su versión en inglés) no parece usar ninguno de los 2 teoremas de Lebesgue para probar el intercambio de suma e integral en la igualdad \( \zeta(s)\Gamma(s)=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-nt}t^{s-1}dt} \), así que ¿se puede probar sin recurrir a alguno de ellos?

El libro de Conway te demuestra que sí, aunque la demostración es larguilla.

10 Enero, 2021, 06:53 pm
Respuesta #19

Carlos Ivorra

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Anda, resulta que en el Conway ("Funciones de una variable compleja" pgs.188-9 de su versión en inglés) no parece usar ninguno de los 2 teoremas de Lebesgue para probar el intercambio de suma e integral en la igualdad \( \zeta(s)\Gamma(s)=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-nt}t^{s-1}dt} \), así que ¿se puede probar sin recurrir a alguno de ellos?

En efecto, como dice Masacroso, Conway necesita casi dos páginas de cálculos ad hoc sobre esa integral para probar lo que es trivial sin más que aplicar el teorema de la convergencia monótona. Lo que sucede es que Conway da un tratamiento relativamente autocontenido del cálculo integral basado en la integral de Riemann, mientras que los teoremas de convergencia generales no valen para la integral Riemann, sino que requieren la integral de Lebesgue. Pero para funciones continuas (que son las únicas que se usan en el contexto al que te refieres) ambas coinciden (hay algunos matices sobre integrales en intervalos no acotados, pero no son relevantes).