Autor Tema: Intercambio de sumatorio e integral

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07 Enero, 2021, 05:35 pm
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Restituto

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El caso más habitual donde esto surge en textos de variable compleja es en la multiplicación de las funciones \( \Gamma(s) \)  y \( \zeta(s) \) representadas como integral y serie de Dirichlet respectivamente, a partir de la cual se obtiene la representación como integral impropia\( \displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{t^{s-1}}{e^t -1}dt \) válida para parte real de \( s>1 \).
Como tanto la serie como la integral convergen absolutamente en la cota dada no hay ningún problema en introducir el sumatorio dentro de la integral simplemente con esta justificación.
Lo único que como a continuación esta integral da lugar a una prolongación de su dominio original, ya sea deformando su contorno en el plano complejo o separándola en 2 partes; \( \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{t^{s-1}}{e^t -1}dt+ \displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{t^{s-1}}{e^t -1}dt \) y expandiendo en la singularidad de su integrando en t=0...,etc, va a ser válida para todo valor de \( s \) o salvo \( s=1 \) y ya no hay la convergencia absoluta original que daba la cota, me pregunto si hay que utilizar alguna justificación más adecuada que garantize la convergencia uniforme que permite intercambiar límite e integral.

07 Enero, 2021, 08:31 pm
Respuesta #1

Restituto

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He mirado el libro de Carlos Ivorra de Variable compleja y usa el teorema de convergencia monótona de Levi válido para positivos supongo que porque en su tratamiento él parte de la representación integral de \( \Gamma(s) \), y he visto que otros textos usan el teorema de convergencia dominada de Lebesgue que quizás es el que cubre las funciones en todo el dominio holomorfo, pero mi fuerte no es el análisis real, ¿puede alguien orientarme sobre cual es la forma adecuada de garantizar la convergencia para que sea válida la introducción del límite en la integral en este caso concreto?

08 Enero, 2021, 12:19 am
Respuesta #2

Carlos Ivorra

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Cuando quieras preguntar algo sobre un resultado, ¿por qué no copias literalmente el resultado por el que preguntas, en lugar de describirlo verbalmente? Así es mucho más complicado situarse. ¿Podrías copiar la igualdad exacta por cuya justificación preguntas?

08 Enero, 2021, 01:02 am
Respuesta #3

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Cuando quieras preguntar algo sobre un resultado, ¿por qué no copias literalmente el resultado por el que preguntas, en lugar de describirlo verbalmente? Así es mucho más complicado situarse. ¿Podrías copiar la igualdad exacta por cuya justificación preguntas?
No puedo transcribirla entera desde donde me encuentro ahora. Está en la página 197-198 de tu libro de Variable compleja, pero allí en vez de zeta usas la función de Hurwitz lo que no cambia nada en mi pregunta. Sólo hay un cambio de sumatorio por integral en la primera mitad de la página 198 justo antes de donde dices:"Como los integrandos son positivos, el teorema de convergencia monótona nos permite intercambiar la suma con la integral. ", así que no hay pérdida. Gracias.

08 Enero, 2021, 01:43 am
Respuesta #4

Carlos Ivorra

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No puedo transcribirla entera desde donde me encuentro ahora. Está en la página 197-198 de tu libro de Variable compleja, pero allí en vez de zeta usas la función de Hurwitz lo que no cambia nada en mi pregunta. Sólo hay un cambio de sumatorio por integral en la primera mitad de la página 198 justo antes de donde dices:"Como los integrandos son positivos, el teorema de convergencia monótona nos permite intercambiar la suma con la integral. ", así que no hay pérdida. Gracias.

Vale, y ¿cuál es el problema? Primero se prueba que el intercambio vale cuando la variable \( s \) es real, porque entonces se cumplen las hipótesis del teorema de la convergencia monótona de Lebesgue, y luego se razona que la igualdad vale en todo el semiplano \( \sigma>1 \) porque los dos miembros son funciones holomorfas que coinciden en una semirrecta, luego el principio de prolongación analítica implica que coinciden en todo su dominio.

Igualmente, cuando luego extiendes los dominios, no tienes que preocuparte por intercambiar series e integrales, Sólo tienes que probar que los dos miembros son prolongables analíticamente, y entonces coincidirán en todo su dominio común por el principio de prolongación analítica.

08 Enero, 2021, 10:07 am
Respuesta #5

Restituto

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¿Hay alguna razón para justificarlo usando un teorema u otro? Como dije he visto usar tanto el de convergencia monótona como el de convergencia dominada, o en otras ocasiones simplemente el hecho de que tanto la serie zeta de Dirichlet como la integral de \( \Gamma \) convergen en el semiplano. No sé si depende de la prueba concreta o del rigor usado....

08 Enero, 2021, 11:45 am
Respuesta #6

Carlos Ivorra

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¿Hay alguna razón para justificarlo usando un teorema u otro? Como dije he visto usar tanto el de convergencia monótona como el de convergencia dominada, o en otras ocasiones simplemente el hecho de que tanto la serie zeta de Dirichlet como la integral de \( \Gamma \) convergen en el semiplano. No sé si depende de la prueba concreta o del rigor usado....

Los dos teoremas tienen la misma conclusión. No tendría ningún sentido decir que usar uno es más riguroso que usar otro, mientras se cumplan las hipótesis necesarias para aplicarlos. El teorema de la convergencia monótona tiene hipótesis más restrictivas, pero más fáciles de comprobar. El teorema de la convergencia dominada tiene hipótesis más generales. Si quisieras probar un resultado general necesitarías éste, pero para este caso concreto vale cualquiera de los dos. Reducirlo a la mera convergencia de las series es dar por supuesto que se puede aplicar un teorema de convergencia. Más que falta de rigor, eso es no dar muchos detalles, que no es exactamente lo mismo.

08 Enero, 2021, 12:00 pm
Respuesta #7

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¿Hay alguna razón para justificarlo usando un teorema u otro? Como dije he visto usar tanto el de convergencia monótona como el de convergencia dominada, o en otras ocasiones simplemente el hecho de que tanto la serie zeta de Dirichlet como la integral de \( \Gamma \) convergen en el semiplano. No sé si depende de la prueba concreta o del rigor usado....

Los dos teoremas tienen la misma conclusión. No tendría ningún sentido decir que usar uno es más riguroso que usar otro, mientras se cumplan las hipótesis necesarias para aplicarlos. El teorema de la convergencia monótona tiene hipótesis más restrictivas, pero más fáciles de comprobar. El teorema de la convergencia dominada tiene hipótesis más generales. Si quisieras probar un resultado general necesitarías éste, pero para este caso concreto vale cualquiera de los dos. Reducirlo a la mera convergencia de las series es dar por supuesto que se puede aplicar un teorema de convergencia. Más que falta de rigor, eso es no dar muchos detalles, que no es exactamente lo mismo.

Vale, en el caso concreto de tu prueba como usas la función de Hurwitz y los integrandos son positivos puedes usar el teorema más restrictivo. Las pruebas que yo había visto son con el caso especial de la función de Hurwitz, que es la zeta de Riemann, y estas admiten integrandos decrecientes por lo que usan el teorema más general. ¿Tiene esto sentido?

08 Enero, 2021, 12:07 pm
Respuesta #8

Carlos Ivorra

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Vale, en el caso concreto de tu prueba como usas la función de Hurwitz y los integrandos son positivos puedes usar el teorema más restrictivo. Las pruebas que yo había visto son con el caso especial de la función de Hurwitz, que es la zeta de Riemann, y estas admiten integrandos decrecientes por lo que usan el teorema más general. ¿Tiene esto sentido?

Insisto en que me resulta muy difícil orientarme a partir de tus paráfrasis verbales. Si escribieras las fórmulas de las que hablas en lugar de describirlas, sería fácil responderte, pero así es muy difícil evitar un malentendido por el que tú estés hablando de algo, yo me imagine otra cosa y que la respuesta no cuadre realmente con la pregunta.

08 Enero, 2021, 12:24 pm
Respuesta #9

Restituto

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En tu \( \Gamma(s)\zeta(s, a)=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-nt}e^{-at}t^{s-1}dt \) el integrando es positivo y por eso usas el teorema de convergencia monótona, mientras que en \( \Gamma(s)\zeta(s)=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-nt}t^{s-1}dt \) el integrando no lo es y se usaría el teorema más general de convergencia dominada?