Autor Tema: Órbita periódica.

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03 Enero, 2021, 01:10 pm
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Bobby Fischer

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Hola, ¿hay alguna forma de asegurar que $$\rho=\dfrac{1}{\sqrt{1+3\cos^2\theta}},~\theta \in [0,2\pi)$$ es una elipse?

Gracias Martiniano.

03 Enero, 2021, 02:31 pm
Respuesta #1

martiniano

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Hola.

Hola, ¿hay alguna forma de asegurar que $$\rho=\dfrac{1}{\sqrt{1+3\cos^2\theta}},~\theta \in [0,2\pi)$$ es una elipse?

Creo que sí. Substituye \( \rho^2=x^2+y^2 \) y \( cos^2\theta=\displaystyle\frac{x^2}{x^2+y^2} \). Operando un poco podrás llegar a la ecuación general de la elipse.

Un saludo.

03 Enero, 2021, 08:57 pm
Respuesta #2

robinlambada

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Hola, ¿hay alguna forma de asegurar que $$\rho=\dfrac{1}{\sqrt{1+3\cos^2\theta}},~\theta \in [0,2\pi)$$ es una elipse?

Gracias Martiniano.

Parece que no es una elipse.

Si comparas con la ecuación en polares centrada en el origen, que es:

$$\rho=\dfrac{b}{\sqrt{1- \epsilon^2\cos^2\theta}}$$  con $$0<\epsilon<1$$

https://es.wikipedia.org/wiki/Elipse ( ver en wikipedia)

Saludos.

P.D.: Se parece a una elipse


Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

03 Enero, 2021, 09:31 pm
Respuesta #3

martiniano

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Hola.

Parece que no es una elipse.

Si comparas con la ecuación en polares centrada en el origen, que es:

$$\rho=\dfrac{b}{\sqrt{1- \epsilon^2\cos^2\theta}}$$  con $$0<\epsilon<1$$

Yo diría que esa ecuación sólo describe una elipse centrada en el origen con su eje mayor horizontal. La elipse del enunciado está centrada en el origen pero tiene su eje mayor vertical. No obstante, no por ello deja de ser una elipse.

¿Qué opinas? Un saludo.

03 Enero, 2021, 09:35 pm
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

Yo diría que esa ecuación sólo describe una elipse centrada en el origen con su eje mayor horizontal. La elipse del enunciado está centrada en el origen pero tiene su eje mayor vertical. No obstante, no por ello deja de ser una elipse.

¿Qué opinas? Un saludo.

Si, es una elipse. En concreto tiene por ecuación:

\( 4x^2+y^2=1 \)

Spoiler
Siguiendo las indicaciones de martiniano queda:

\( x^2+y^2=\dfrac{1}{1+\dfrac{3x^2}{x^2+y^2}} \)

Quitando denominadores y simplificando se llega a:

\( 4x^2+y^2=1 \)
[cerrar]

Saludos.

03 Enero, 2021, 09:36 pm
Respuesta #5

Fernando Revilla

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Hola, ¿hay alguna forma de asegurar que $$\rho=\dfrac{1}{\sqrt{1+3\cos^2\theta}},~\theta \in [0,2\pi)$$ es una elipse?

Sí, usando las fórmulas que proporcionó martiniano, obtenemos \( \displaystyle\frac{x^2}{(1/2)^2}+\displaystyle\frac{y^2}{1^2}=1 \). Puede verse la gráfica en polares aquí.

Parece que no es una elipse. Si comparas con la ecuación en polares centrada en el origen, que es: $$\rho=\dfrac{b}{\sqrt{1- \epsilon^2\cos^2\theta}}$$  con $$0<\epsilon<1$$
https://es.wikipedia.org/wiki/Elipse ( ver en wikipedia)

Es que no sería la única forma de expresar una elipse en polares.

P.D. Luis desenfundó antes.

04 Enero, 2021, 09:45 am
Respuesta #6

robinlambada

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Cierto, copie mal la curva, puse \( \rho^2 \) en vez de  \( \rho \) .

Spoiler
Lo pase a cartesianas y desarrolle, aunque comprobé los cálculos , partía siempre del error de copiado, así no hay manera.

Me daba una curva cerrada muy parecida pero no una elipse.
[cerrar]
Gracias.

Saludos.
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