Autor Tema: Estimado para derivadas parciales de una función harmónica

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02 Enero, 2021, 04:52 am
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FerOliMenNewton

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Hola a todos, antes que nada: ¡Feliz año nuevo! :)
Recientemente empecé a estudiar ecuaciones armónicas, y me interesa probar lo siguiente:
Sea \( u \) armónica en un conjunto abierto \( \Omega \) y sea \( B_{\rho}(x)\subset{\Omega} \) una bola abierta, entonces
\( \left |{   u_{x_{i}}(x)               }\right |      \leq{  \displaystyle\frac{\gamma_{n} M}{\rho}                    } \)
Donde \( M=sup \left\{{ \left |{u(x)}\right |  : x \in B_{\rho}(x)                     }\right\} \) y \( \gamma _{n} = \displaystyle\frac{2n \omega _{n-1}}{(n-1) \omega _{n}} \), donde a su vez,  \( \omega_{k} \) es el área de la esfera unitaria en \( \mathbb{R} ^{k} \).
Esto fue lo que intenté:
Como \( u \) es armónica, es bien sabido que para cada bola abierta \( B_{r}(x) \subset{\Omega} \) se tiene que
\( u(x)=\displaystyle\frac{1}{Vol(B_{r}(x))} \displaystyle\int_{B_{r}(x)}^{} u(y) dy  \)
Pero, si \( u \) es armónica entonces \( u_{x_{i}} \) también es armónica, por lo tanto
\( u_{x_{i}}(x)=\displaystyle\frac{1}{Vol(B_{r}(x))} \displaystyle\int_{B_{r}(x)}^{} u_{x_{i}}(y) dy  \)
Si aplicamos el teorema de la divergencia entonces podemos escribir la igualdad anterior como
\( u_{x_{i}}(x)=\displaystyle\frac{1}{Vol(B_{r}(x))} \displaystyle\int_{\partial B_{r}(x)}^{} e_{i}u(y) dS  \)
Donde \( e_{i} \) es el vector que tiene un \( 1 \) en la entrada \( i \) y las demás son cero. De la desigualdad anterior se sigue que
\( \left |{  u_{x_{i}} (x)             }\right | \leq{  \displaystyle \frac{M_{r} Vol(\partial B_{r}(x))}{Vol(B_{r}(x))}   } = \displaystyle\frac{n M_{r}}{r}  \) 
Donde \( M_{r}=sup \left\{{ \left |{u(x)}\right |  : x \in B_{r}(x)                     }\right\} \)
Por supuesto, me dan ganas de tomar \( r= \frac { \rho (n-1) \omega _{n} }{2 \omega_{n-1}} \) . Como ven, el problema con eso es que debo asegurar que para esa \( r \), se tenga que \( B_{r}(x) \subset B_{\rho}(x)  \), lo he estado intentando pero de hecho no parece cierto al tomar casos particulares de \( n \).
¿Podrían darme alguna sugerencia por favor?
De antemano gracias.
Saludos.
ACTUALIZACIÓN :
La sugerencia del ejercicio es considerar en cambio la fórmula integral de Poisson
\( u(y)=\displaystyle\frac{\rho ^2 - \left\|{y}\right\| ^2 }{\rho \omega _{n}} \displaystyle\int_{\partial B_{\rho} (0) }^{} \displaystyle\frac{u(x)}{\left\|{x-y}\right\| ^{n} } dS_{x} \)
pero no veo muy claro por qué esa fórmula ayudaría más.