Autor Tema: Función lipschiztiana

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31 Diciembre, 2020, 09:25 pm
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Bobby Fischer

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Hola,

Supongamos tener $$f(t,y)\colon \mathbb{R}\times\Omega\to \Omega$$, $$f(t,y)\in \text{Lip}_{\text{loc}}(y,\Omega)$$ y $$f(t,y)=f(y)$$. Si $$|y_1-y_2|<\delta$$, entonces $$|f(t,y_1)-f(t,y_2)|=|f(y_1)-f(y_2)|\le L|y_1-y_2|<L\delta <\varepsilon~\forall (t,y_1),(t,y_2)\in \mathbb{R}\times\Omega$$. Es decir, para todo $$y_1,y_2\in\Omega$$ y para todo $$\varepsilon>0$$, existe $$\delta^+(<\dfrac{\varepsilon}{L})$$ tal que si $$|y_1-y_2|<\delta$$, entonces $$|f(y_1)-f(y_2)|<\varepsilon$$. Luego $$f$$ es uniformemente continua. (¿sí?)


¿Yo puedo afirmar que una función localmente lipschitz en $$D$$ es una función globalmente lipschitz en todo compacto contenido en $$D$$?

01 Enero, 2021, 09:50 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Supongamos tener $$f(t,y)\colon \mathbb{R}\times\Omega\to \Omega$$, $$f(t,y)\in \text{Lip}_{\text{loc}}(y,\Omega)$$ y $$f(t,y)=f(y)$$. Si $$|y_1-y_2|<\delta$$, entonces $$|f(t,y_1)-f(t,y_2)|=|f(y_1)-f(y_2)|\le L|y_1-y_2|<L\delta <\varepsilon~\forall (t,y_1),(t,y_2)\in \mathbb{R}\times\Omega$$. Es decir, para todo $$y_1,y_2\in\Omega$$ y para todo $$\varepsilon>0$$, existe $$\delta^+(<\dfrac{\varepsilon}{L})$$ tal que si $$|y_1-y_2|<\delta$$, entonces $$|f(y_1)-f(y_2)|<\varepsilon$$. Luego $$f$$ es uniformemente continua. (¿sí?)

No entiendo bien lo que has escrito ahí. En lo que he marcado en rojo, pareces indicar que la función en realidad no depende de \( t \).

No me queda claro en general que quieres decir con esa párrafo. ¿Hipótesis? ¿Conclusiones?.

Citar
¿Yo puedo afirmar que una función localmente lipschitz en $$D$$ es una función globalmente lipschitz en todo compacto contenido en $$D$$?

Si.

Saludos.

01 Enero, 2021, 02:34 pm
Respuesta #2

Bobby Fischer

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Quería saber para un problema de Cauchy $$\begin{cases}y'=f(t,y)\\ y(t_0)=y_0\end{cases}$$ autónomo ($$f(t,y)=f(y)$$) si la lipschitzianidad local de $$f$$ en $$\Omega$$ implicaba su continuidad uniforme en $$\Omega$$. Es evidente que sí. Gracias.

Saludos.