Autor Tema: Logaritmo bien definido.

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28 Diciembre, 2020, 10:12 pm
Respuesta #10

Restituto

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Si no se especifica se entiende que es la general. En realidad no tengo una respuesta categórica a esto. Depende de los convenios previos en cuanto a notación.
Entendido, gracias.
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Si; es decir, no le afecta a la integral, pero si obviamente a la suma final de ambos términos.
El contorno de la integral \( \gamma(z) \) debe estar en el dominio \( U \) en \( D={z\in{\mathbb{C}/\left |{z}\right |>0, -\pi<\operatorname {Arg} (z)<\pi}} \) , en este sentido decía que le afecta.

28 Diciembre, 2020, 10:38 pm
Respuesta #11

Luis Fuentes

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Hola

El contorno de la integral \( \gamma(z) \) debe estar en el dominio \( U \) en \( D={z\in{\mathbb{C}/\left |{z}\right |>0, -\pi<\operatorname {Arg} (z)<\pi}} \) , en este sentido decía que le afecta.

No, esa condición no es necesaria.

Fíjate que la integral \( \displaystyle\int_{\gamma(z)}\dfrac{1}{w-\alpha}dw \) está bien definida. Lo único que hemos necesitado para ello es que \( U \) sea simplemente conexo y que \( \alpha\not\in U \).

Entonces cuando sumamos el término \( log(z_0-\alpha) \) hacemos una elección en la medida que hay infinitos complejos tales que \( e^{w}=z_0-\alpha \). Dos de ellos difieren en \( 2k\pi i \) para un cierto entero \( k \).

Entre todos ellos ahí podemos elegir el que tiene su argumento en \( (-\pi,\pi) \). Pero, ojo, eso no quiere decir que el logaritmo que definimos tenga su argumento en ese intervalo; de hecho el argumento podría dar "varias vueltas" a la circunferencia, es decir, tomar valores, por ejemplo en \( (-\pi,9\pi) \).

Fíjate que nuestro conjunto \( U \) podría ser el que muestro en el dibujo:



Un logartimo \( Log(z) \) definido en un dominio \( V \), lo que tiene que cumplir es que para todo punto \( z\in V \), \( e^{Log(z)}=z \).

Saludos.

29 Diciembre, 2020, 09:10 am
Respuesta #12

Restituto

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Ah, cierto. La integral y \( U \) no están sujetos al dominio de la rama escogida de \( \log(z_0 -\alpha) \). Me empeñé en una implicación entre ellos que el problema no tenía. Gracias, Luis y Hauss.