Autor Tema: Logaritmo bien definido.

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27 Diciembre, 2020, 12:10 am
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Hauss

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Hola, tengo el siguiente problema:

Demostrar que si \( U \subset \mathbb{C} \) es dominio simplemente conexo y \( \alpha \in \mathbb{C}\setminus U \) entonces log\( (z-\alpha) \) está bien definido para todo \( z\in U \)

Lo unico que he intentado es probar que \( \dfrac{1}{z-\alpha} \) tienen antiderivada en \( U \), eso se me ha ocurrido únicamente por como se da en el caso real, de que la antiderivada de \( \dfrac{1}{x} \) es log\( (x) \), pero no sé si es correcto aplicar lo mismo en el caso complejo.

Les agradeceria mucho cualquier ayuda que pueda brindarme, gracias.

27 Diciembre, 2020, 08:39 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Demostrar que si \( U \subset \mathbb{C} \) es dominio simplemente conexo y \( \alpha \in \mathbb{C}\setminus U \) entonces log\( (z-\alpha) \) está bien definido para todo \( z\in U \)

Lo unico que he intentado es probar que \( \dfrac{1}{z-\alpha} \) tienen antiderivada en \( U \), eso se me ha ocurrido únicamente por como se da en el caso real, de que la antiderivada de \( \dfrac{1}{x} \) es log\( (x) \), pero no sé si es correcto aplicar lo mismo en el caso complejo.

Les agradeceria mucho cualquier ayuda que pueda brindarme, gracias.

Más o menos. Fija un punto \( z_0\in U \) y define:

\( log(z-\alpha)=\displaystyle\int_{\gamma(z)}\dfrac{1}{w-\alpha}dw\color{red}+log(z_0-\alpha)\color{black} \)

siendo \( \gamma(z) \) un camino en \( U \) que une \( z \) con \( z_0 \).

La clave está en que esa definición no depende del camino, por ser el dominio simplemente conexo y como consecuencia del Teorema de Cauchy.

Saludos.

CORREGIDO

27 Diciembre, 2020, 07:23 pm
Respuesta #2

Restituto

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Fija un punto \( z_0\in U \) y define:

\( log(z-\alpha)=\displaystyle\int_{\gamma(z)}\dfrac{1}{w-\alpha}dw \)

siendo \( \gamma(z) \) un camino en \( U \) que une \( z \) con \( z_0 \).

La clave está en que esa definición no depende del camino, por ser el dominio simplemente conexo y como consecuencia del Teorema de Cauchy.
¿Sería aquí superfluo o pedante  indicar  en la definición del logaritmo que para que sea univaluado y analítico el dominio debe estar en una determinación de la función logaritmo, ya que se sobreentiende, o no está de más ponerlo al responder formalmente a un ejercicio, examen, etc?

28 Diciembre, 2020, 10:27 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

¿Sería aquí superfluo o pedante  indicar  en la definición del logaritmo que para que sea univaluado y analítico el dominio debe estar en una determinación de la función logaritmo, ya que se sobreentiende, o no está de más ponerlo al responder formalmente a un ejercicio, examen, etc?

No entiendo bien la pregunta. En la respuesta a éste ejercicio el logaritmo se define a través de una integral y lo único que es necesario justificar es que está bien definida (que la integral no depende del camino y por supuesto que la función es integrable).

Saludos.

28 Diciembre, 2020, 12:14 pm
Respuesta #4

Restituto

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No entiendo bien la pregunta. En la respuesta a éste ejercicio el logaritmo se define a través de una integral y lo único que es necesario justificar es que está bien definida (que la integral no depende del camino y por supuesto que la función es integrable).

Sí, tampoco hay mucho que entender salvo que yo no sepa muy bien lo que implica un logaritmo complejo, que es muy posible. Vamos que se sobreentiende que \( U \) pertenece a la determinación escogida por ejemplo la determinación principal del logaritmo y no hace falta remarcarlo.

28 Diciembre, 2020, 04:20 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Sí, tampoco hay mucho que entender salvo que yo no sepa muy bien lo que implica un logaritmo complejo, que es muy posible. Vamos que se sobreentiende que \( U \) pertenece a la determinación escogida por ejemplo la determinación principal del logaritmo y no hace falta remarcarlo.

Me faltó añadir un término en la definición que di del logaritmo mediante la integral:

\( log(z-\alpha)=\displaystyle\int_{\gamma(z)}\dfrac{1}{w-\alpha}dw\color{red}+log(z_0-\alpha)\color{black} \)

Es ahí en ese término donde elegimos una rama concreta del logaritmo complejo.

Saludos.

28 Diciembre, 2020, 06:03 pm
Respuesta #6

Hauss

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Muchas gracias por la respuesta Luis, me ha quedado todo claro.

Saludos.

28 Diciembre, 2020, 06:26 pm
Respuesta #7

Restituto

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Me faltó añadir un término en la definición que di del logaritmo mediante la integral:

\( log(z-\alpha)=\displaystyle\int_{\gamma(z)}\dfrac{1}{w-\alpha}dw\color{red}+log(z_0-\alpha)\color{black} \)
Ups! No pensé en el término que fija \( z_0 \).

Citar
Es ahí en ese término donde elegimos una rama concreta del logaritmo complejo.
Pero ¿hay que especificarla o en general se entiende que si no se pone es la principal?

 De todas modos el otro término es el que da el logaritmo en \( U \) por lo que la rama elegida también le afecta ¿no?

28 Diciembre, 2020, 08:03 pm
Respuesta #8

Hauss

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Pero ¿hay que especificarla o en general se entiende que si no se pone es la principal?

Bueno, a mi entender la elección del \( z_0 \) da la elección de la franja del logaritmo que se ha de usar, una vez que se escoge \( z_0 \), el término \( \log(z_0-\alpha) \) queda determinada en \( U \).

28 Diciembre, 2020, 08:35 pm
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Hola

Pero ¿hay que especificarla o en general se entiende que si no se pone es la principal?

Si no se especifica se entiende que es la general. En realidad no tengo una respuesta categórica a esto. Depende de los convenios previos en cuanto a notación.

Citar
De todas modos el otro término es el que da el logaritmo en \( U \) por lo que la rama elegida también le afecta ¿no?

Si; es decir, no le afecta a la integral, pero si obviamente a la suma final de ambos términos.

Saludos.