Autor Tema: Prolongación analítica: convergencia local versus unicidad global

0 Usuarios y 2 Visitantes están viendo este tema.

22 Diciembre, 2020, 05:24 pm
Leído 346 veces

Restituto

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 250
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
La extensión local por ejemplo basada en el solapamiento de discos de convergencia de series de Taylor moviendo su centro a lo largo de una curva, parce estar basado en convergencia condicional de la serie, es decir aquella en que puede haber infinitos reordenamientos que darían lugar a diferentes valores, pero esto debe compatibilizarse con que la función extendida debe ser única, así que claramente el orden global importa en estas series, un orden rígido ya que cada abierto de la función va a estar determinado por los demás para tener una función analíticva univaluada.

En el caso de las series de potencias el orden va a estar relacionado con el orden en que sumamos términos de la serie, debido a que esto se relaciona con la forma no-conmutativa en que se multiplican matrices cuando se igualan los coeficientes puestos en forma matricial de series centradas en puntos separados una distancia \( \epsilon \).
https://www.mathpages.com/home/kmath649/kmath649.htm

¿Hay algún otro procedimiento habitual de imponer un orden para algún otro tipo de serie?

24 Diciembre, 2020, 09:11 am
Respuesta #1

Masacroso

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,583
  • País: es
  • Karma: +0/-0
La extensión local por ejemplo basada en el solapamiento de discos de convergencia de series de Taylor moviendo su centro a lo largo de una curva, parce estar basado en convergencia condicional de la serie, es decir aquella en que puede haber infinitos reordenamientos que darían lugar a diferentes valores, pero esto debe compatibilizarse con que la función extendida debe ser única, así que claramente el orden global importa en estas series, un orden rígido ya que cada abierto de la función va a estar determinado por los demás para tener una función analíticva univaluada.

En el caso de las series de potencias el orden va a estar relacionado con el orden en que sumamos términos de la serie, debido a que esto se relaciona con la forma no-conmutativa en que se multiplican matrices cuando se igualan los coeficientes puestos en forma matricial de series centradas en puntos separados una distancia \( \epsilon \).
https://www.mathpages.com/home/kmath649/kmath649.htm

¿Hay algún otro procedimiento habitual de imponer un orden para algún otro tipo de serie?

La serie de potencias de una función analítica alrededor de alguno de sus puntos es única y converge absolutamente en su radio de convergencia, no existe reordenación pues posible, aunque no me queda muy claro si es eso lo que preguntabas. Sin embargo lo que sí se puede hacer es convertir la serie de potencias en una serie basada en otras funciones utilizando algún "kernel" de sumación de series, como el de Cesáro, Féjer o algún otro que sea conveniente.

24 Diciembre, 2020, 11:42 am
Respuesta #2

Restituto

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 250
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino

La serie de potencias de una función analítica alrededor de alguno de sus puntos es única y converge absolutamente en su radio de convergencia, no existe reordenación pues posible, aunque no me queda muy claro si es eso lo que preguntabas.
Lo que dices es cierto para un centro del disco de convergencia fijo, de lo que yo hablaba era de prolongación analítica directa a lo largo de curvas así que el punto se "mueve" en la curva  obteniéndose discos solapados de convergencia y es la forma que tiene de extenderse analíticamente la función desde el punto de vista local de las series de potencias. Esta es la convergencia que sería condicional es decir dependería del orden de los sumandos al cambiar suavemente el centro del disco para dar valores univaluados en una extensión analítica única. Creo que en el enlace que puse esto se explica mejor.

En cualquier caso veo ahora que esto está relacionado con la propia naturaleza de la serie de Taylor y su implicación de ida y vuelta entre analiticidad y holomorfidad en funciones holomorfas y no tiene mucho sentido para otras series que precisan mas condiciones para garantizar analiticidad-holomorfidad.

24 Diciembre, 2020, 12:16 pm
Respuesta #3

Masacroso

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,583
  • País: es
  • Karma: +0/-0

La serie de potencias de una función analítica alrededor de alguno de sus puntos es única y converge absolutamente en su radio de convergencia, no existe reordenación pues posible, aunque no me queda muy claro si es eso lo que preguntabas.
Lo que dices es cierto para un centro del disco de convergencia fijo, de lo que yo hablaba era de prolongación analítica directa a lo largo de curvas así que el punto se "mueve" en la curva  obteniéndose discos solapados de convergencia y es la forma que tiene de extenderse analíticamente la función desde el punto de vista local de las series de potencias. Esta es la convergencia que sería condicional es decir dependería del orden de los sumandos al cambiar suavemente el centro del disco para dar valores univaluados en una extensión analítica única. Creo que en el enlace que puse esto se explica mejor.

En cualquier caso veo ahora que esto está relacionado con la propia naturaleza de la serie de Taylor y su implicación de ida y vuelta entre analiticidad y holomorfidad en funciones holomorfas y no tiene mucho sentido para otras series que precisan mas condiciones para garantizar analiticidad-holomorfidad.

Pero aunque nos movamos la serie de potencias alrededor de cada punto sigue siendo única, en ningún punto que nos paremos la convergencia de una serie de potencias es condicional. He mirado el enlace y allí hablan de cómo relacionar una serie de potencias con otra a través de ecuaciones funcionales, pero es otra cosa, o al menos yo no veo ahí ninguna serie de potencias que converja condicionalmente.

24 Diciembre, 2020, 01:18 pm
Respuesta #4

Restituto

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 250
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino

Pero aunque nos movamos la serie de potencias alrededor de cada punto sigue siendo única, en ningún punto que nos paremos la convergencia de una serie de potencias es condicional. He mirado el enlace y allí hablan de cómo relacionar una serie de potencias con otra a través de ecuaciones funcionales, pero es otra cosa, o al menos yo no veo ahí ninguna serie de potencias que converja condicionalmente.
Yo soy un simple aficionado sin educación formal en matemática pura así que todo lo que yo diga se debe tomar con algo más que una pizca de sal pero  lo que entiendo a partir del enlace es que  se refiere explícitamente a la convergencia condicional cuando uno se refiere no a un sólo disco de convergencia sino a la cadena de discos solapados a lo largo de una curva en una prolongación analítica. Esto también forma una serie de potencias y su convergencia es condicional al orden de sumación en la cadena de discos, no para uno solo. Por eso te decía que en cada disco aislado sí que la convergencia es absoluta pero en un solo disco no se aprecia la prolongación, ya que como dices te paras.
Luego se refiere a que este proceso de ir cambiando el centro de convergencia un poco en cada disco se puede resumir en una ecuación funcional iterativa