Autor Tema: Raíz n-ésima de un número complejo

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13 Diciembre, 2020, 09:28 am
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Marcos Castillo

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 Hola, RM
"Dado un número complejo \( z \) distinto de cero, se pueden obtener n números complejos distintos \( w \) que cumplen \( w^n=z \). Estos n números se denominan las raíces n-ésimas de \( z \). Por ejemplo, si
\( w_1=1 \)
\( w_2=\cos{\dfrac{2\pi}{n}}+i\sin{\dfrac{2\pi}{n}} \)
\( w_3=\cos{\dfrac{4\pi}{n}}+i\sin{\dfrac{4\pi}{n}} \)
\( w_4=\cos{\dfrac{6\pi}{n}}+i\sin{\dfrac{6\pi}{n}} \)
\( \vdots \)
\( w_n=\cos{\dfrac{2(n-1)\pi}{n}}+i\sin{\dfrac{2(n-1)\pi}{n}} \)
cumplen \( w^n=1 \), y, por tanto, son raíces n-ésimas de 1 (estos números se denominan generalmente raíces n-ésimas de la unidad). La figura muestra las tres raíces cúbicas de 1. Obsérvese  que están en los tres vértices de un triángulo equilátero cuyo centro está en el origen y uno de sus vértices está en 1. En general, las n raíces n-ésimas de la unidad estarán en una circunferencia de radio 1 centrada en el origen, y sus vértices formarán un polígono regular de n lados con uno de sus vértices en 1.


Si \( z \) es un número complejo distinto de cero y \( \theta \) es la fase principal de \( z \) \( (-\pi<\theta\leq{\pi}) \), entonces el número
\( w_1=|z|^{1/n}\left ({\cos{\dfrac{\theta}{n}}+i\sin{\dfrac{\theta}{n}}}\right ) \)
se denomina raíz principal n-ésima de \( z \). Todas las raíces n-ésimas de \( z \) están en una circunferencia de radio \( |z|^{1/n} \) centrada en el origen y ocupan los vértices de un polígono regular de n lados con uno de los vértices en \( w_1 \) (véase la figura). Las otras n raíces son
\( w_2=|z|^{1/n}\left ({\cos{\dfrac{\theta+2\pi}{n}}+i\sin{\dfrac{\theta+2\pi}{n}}}\right ) \)
\( w_2=|z|^{1/n}\left ({\cos{\dfrac{\theta+4\pi}{n}}+i\sin{\dfrac{\theta+4\pi}{n}}}\right ) \)
\( \vdots \)
\( w_1=|z|^{1/n}\left ({\cos{\dfrac{\theta+2(n-1)\pi}{n}}+i\sin{\dfrac{\theta+2(n-1)\pi}{n}}}\right ) \)

Podemos obtener todas las raíces n-ésimas de \( z \) multiplicando la raíz principal n-ésima por las raíces n-ésimas  de la unidad."
Este es el texto; pregunta: ¿por qué se suma \( \dfrac{2\pi}{n} \) en la raiz segunda, tercera...Y así hasta la raíz n-ésima? Mi explicación es "de atrás hacia adelante": como geométricamente serán triángulos si es la raíz tercera, hexágonos si es sexta, cuadrados si son raíz cuarta...Son múltiplos de \( \dfrac{2\pi}{3} \), \( \dfrac{2\pi}{6} \), \( \dfrac{2\pi}{4} \)...Pero es un razonamiento a la inversa; no me parece correcto.
¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

13 Diciembre, 2020, 10:15 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Si tienes un número complejo en forma polar:

\(  w=r(cos(\theta)+i\sin(\theta)) \)

 Sabes que su potencia enésima es (¿lo sabes?):

\(  w^n=r^n(cos(n\theta)+i\sin(n\theta)) \)

 Entonces si tenemos:

\(  z=|z|(cos(\alpha)+i\sin(\alpha)) \)

 Para que \( w^n=z \) necesitamos que:

\(  r^n=|z| \)

 y \( n\theta \) y \( \alpha \) tengan las misma razones trigonométricas. Pero sabes que coseno y seno son periódicas con período \( 2\pi \).

 Entonces:

\(  \left.\begin{array}{c}
 {cos(\alpha)=cos(n\theta)}\cr
 {sin(\alpha)=sin(n\theta)}\cr
 \end{array}\right\}\quad \Leftrightarrow{}\quad n\theta=\alpha+2k\pi\quad \Leftrightarrow{}\quad \theta=\dfrac{\alpha+2k\pi}{n} \)

Saludos.

13 Diciembre, 2020, 01:17 pm
Respuesta #2

Marcos Castillo

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¡Hola, Luis! :) :) Yo lo entiendo así, después de haber leído tu mensaje:

Si \( z=|z|(\cos{(\theta+2k\pi)}+i\sin{(\theta+2k\pi})) \)

Por de Moivre:

\( z^{1/n}=|z|^{1/n}\left(\cos{\left ({\dfrac{\theta+2k\pi}{n}}\right )}+i\sin{\left ({\dfrac{\theta+2k\pi}{n}}\right )}\right) \)

Pero, ¿por qué \( k\geq{0} \)?¿no pueden ser negativos?; ¿qué interés tiene el concepto de raiz cuadrada principal?

¿Mi razonamiento es correcto?

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

13 Diciembre, 2020, 01:20 pm
Respuesta #3

Marcos Castillo

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Perdón, quería decir raiz principal n-ésima de \( z \)
No man is an island (John Donne)

13 Diciembre, 2020, 03:54 pm
Respuesta #4

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

¡Hola, Luis! :) :) Yo lo entiendo así, después de haber leído tu mensaje:

Si \( z=|z|(\cos{(\theta+2k\pi)}+i\sin{(\theta+2k\pi})) \)

Por de Moivre:

\( z^{1/n}=|z|^{1/n}\left(\cos{\left ({\dfrac{\theta+2k\pi}{n}}\right )}+i\sin{\left ({\dfrac{\theta+2k\pi}{n}}\right )}\right) \)

Pero, ¿por qué \( k\geq{0} \)?¿no pueden ser negativos?;

Pueden ser negativos; puede ser cualquier \( k \) entero. Lo que pasa es que para dos posibles valores \( k,k' \) si difieren en un múltipo de \( n \), \( \theta+\dfrac{2k\pi}{n} \) va a corresponder a las mismas funciones trigonométricas que \( \theta+\dfrac{2k'\pi}{n} \), porque su diferencia es \( \dfrac{2(k-k')\pi}{n} \) que sería múltiplo de \( 2\pi \).

Citar
¿qué interés tiene el concepto de raiz cuadrada principal?

Pues por una parte, y centrándonos en las raíces de la unidad, te permite generar todas las demás. Es decir si \( z \) es la ráiz principal n-sima de la unidad todas las demás se obtienen como \( z^k \), con \( k=0,1,2,\ldots,n-1 \).

Por otra parte cuando se quiere trabajar con la función raíz enésima necesitamos elegir un sólo valor; una de las \( n \) raíces. Aunque esto sería algo más sutil.

Saludos.

13 Diciembre, 2020, 06:34 pm
Respuesta #5

Marcos Castillo

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Por otra parte cuando se quiere trabajar con la función raíz enésima necesitamos elegir un sólo valor; una de las \( n \) raíces. Aunque esto sería algo más sutil.


Perfecto. La última pregunta: esta necesidad de elegir un único valor, ¿entra en el terreno de la Física? Matemáticamente el concepto de raíz principal es absurdo. Es como decir:
\( \sqrt{4}=\sqrt{4(\cos{(0)}+i\sin{(0)})}=2 \). Desde un punto de vista matemático es absurdo.

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

13 Diciembre, 2020, 07:55 pm
Respuesta #6

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Perfecto. La última pregunta: esta necesidad de elegir un único valor, ¿entra en el terreno de la Física? Matemáticamente el concepto de raíz principal es absurdo. Es como decir:
\( \sqrt{4}=\sqrt{4(\cos{(0)}+i\sin{(0)})}=2 \). Desde un punto de vista matemático es absurdo.

No sé que quieres decir con que es absurdo. De hecho incluso con números reales y para la raíz cuadrada de \( 4 \), que es el ejemplo que pones, si ésta se entiende como un número que elevado al cuadrado nos de \( 4 \), ahí hacemos una elección al decir que el resultado es \( 2 \), cuando también podríamos haber elegido el \( -2 \).

Saludos.

13 Diciembre, 2020, 09:23 pm
Respuesta #7

Marcos Castillo

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 :banghead: No me había dado cuenta. ¡Muchas gracias!
Un saludo cordial.
No man is an island (John Donne)