Autor Tema: Funciones integrables

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12 Diciembre, 2020, 03:34 pm
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alucard

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Hola , tengo el siguiente enunciado  , es un verdadero falso
Si f y g son integrables en los reales tal que

\( \displaystyle\int_{1}^{5} f(x) dx+\displaystyle\int_{5}^{10} f(x)dx=3 \)  y

\( \displaystyle\int_{1}^{10} g(x)=1.5
 \)

entonces \( f(x)=2g(x) \)

intente lo siguiente

\( \displaystyle\int_{1}^{5} f(x) dx+\displaystyle\int_{5}^{10} f(x)dx=\displaystyle\int_{1}^{10} f(x)=3 \)

como f y g son integrables en el mismo intervalo planteo que

\( \displaystyle\int_{1}^{10} f(x) dx+\displaystyle\int_{1}^{10} g(x)dx=\displaystyle\int_{1}^{10} (f(x)+g(x))dx=3+1.5=4.5 \)

por lo que la afirmación es falsa, es correcto o me fui por las ramas 
Un camino de 1000 km se empieza a recorrer cuando se da el primer paso

12 Diciembre, 2020, 03:51 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola , tengo el siguiente enunciado  , es un verdadero falso
Si f y g son integrables en los reales tal que

\( \displaystyle\int_{1}^{5} f(x) dx+\displaystyle\int_{5}^{10} f(x)dx=3 \)  y

\( \displaystyle\int_{1}^{10} g(x)=1.5
 \)

entonces \( f(x)=2g(x) \)

intente lo siguiente

\( \displaystyle\int_{1}^{5} f(x) dx+\displaystyle\int_{5}^{10} f(x)dx=\displaystyle\int_{1}^{10} f(x)=3 \)

como f y g son integrables en el mismo intervalo planteo que

\( \displaystyle\int_{1}^{10} f(x) dx+\displaystyle\int_{1}^{10} g(x)dx=\displaystyle\int_{1}^{10} (f(x)+g(x))dx=3+1.5=4.5 \)

por lo que la afirmación es falsa, es correcto o me fui por las ramas

No acabo de entender porque de lo que he marcado en rojo deduces que la afirmación es falsa. ¿Qué problema hay con esa igualdad?.

En realidad es cierto que la afirmación es falsa, pero para justificarlo tienes que buscar un contraejemplo, es decir, un par de funciones \( f(x) \) y \( g(x) \) que al ser integradas como se indican den el resultado previsto pero que no cumplan \( f(x)=2g(x). \)

Inténtalo. Por ejemplo, para una de ellas toma una función constante adecuada. La otra... piensa...

Saludos.

05 Marzo, 2021, 08:17 pm
Respuesta #2

alucard

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Hola luis revivo el tema dado que pude conseguir el enunciado completo del problema el cual cita lo siguiente 


Si f y g son integrables en los reales tal que

\( \displaystyle\int_{1}^{5} f(x) dx+\displaystyle\int_{5}^{10} f(x)dx=3 \quad\displaystyle\int_{1}^{10} g(x)=1.5
 \)

Seleccione una 

a) \( f(x)=2g(x) \)

b) \( \displaystyle\int_{1}^{10}f(x)dx=2\displaystyle\int_{-1}^{-10}g(x)dx \) si g es  impar

c) \( \displaystyle\int_{1}^{10} f(x)dx=\displaystyle\int_{1}^{10} g(x)dx+\displaystyle\int_{-1}^{-10} g(x)dx \) si g es par

d) \( \displaystyle\int_{1}^{5} f(x)dx=\displaystyle\int_{1}^{10} g(x)dx \)

Lo que no entiendo realmente es a que enfoca el ejercicio, no me sale el relacionar una integral que esta en dos tramos de una función f que esta expresada como suma de integrales , con otra que esta expresada en una sola 
Un camino de 1000 km se empieza a recorrer cuando se da el primer paso

05 Marzo, 2021, 10:45 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Hola luis revivo el tema dado que pude conseguir el enunciado completo del problema el cual cita lo siguiente 


Si f y g son integrables en los reales tal que

\( \displaystyle\int_{1}^{5} f(x) dx+\displaystyle\int_{5}^{10} f(x)dx=3 \quad\displaystyle\int_{1}^{10} g(x)=1.5
 \)

Seleccione una 

a) \( f(x)=2g(x) \)

b) \( \displaystyle\int_{1}^{10}f(x)dx=2\displaystyle\int_{-1}^{-10}g(x)dx \) si g es  impar

c) \( \displaystyle\int_{1}^{10} f(x)dx=\displaystyle\int_{1}^{10} g(x)dx+\displaystyle\int_{-1}^{-10} g(x)dx \) si g es par

d) \( \displaystyle\int_{1}^{5} f(x)dx=\displaystyle\int_{1}^{10} g(x)dx \)

Lo que no entiendo realmente es a que enfoca el ejercicio, no me sale el relacionar una integral que esta en dos tramos de una función f que esta expresada como suma de integrales , con otra que esta expresada en una sola

 El dato:

\( \displaystyle\int_{1}^{5} f(x) dx+\displaystyle\int_{5}^{10} f(x)dx=3  \)

 equivale a:

\( \displaystyle\int_{1}^{10}  f(x)dx=3  \)

 Ahora (a) es falsa y ya te sugerí en mi anterior respuesta como comprobarlo. ¿Lo has hecho?.

 En cuanto (b) ten en cuenta que si \( g \) es impar, \( g(x)=-g(-x) \).

 Entonces si haces el cambio \( t=-x \):

\(  \displaystyle\int_{-1}^{-10}g(x)dx= \displaystyle\int_{1}^{10}-g(-t)dt=\displaystyle\int_{1}^{10}g(t)dt=1.5 \)
 
 ¿Conclusión?.

 Para (c) ten en cuenta que si \( g \) es par, \( g(x)=g(-x) \). Con el mismo cambio de antes:

\(  \displaystyle\int_{-1}^{-10}g(x)dx= \displaystyle\int_{1}^{10}-g(-t)dt=-\displaystyle\int_{1}^{10}g(t)dt=-1.5 \)

 ¿Conclusión?.

 En cuanto a (d) no sabemos cuanto vale \( \displaystyle\int_{1}^{5}f(x)dx \). Busca un ejemplo que muestre que es falsa.

Saludos.

10 Marzo, 2021, 11:18 am
Respuesta #4

alucard

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Hola

Hola luis revivo el tema dado que pude conseguir el enunciado completo del problema el cual cita lo siguiente 


Si f y g son integrables en los reales tal que

\( \displaystyle\int_{1}^{5} f(x) dx+\displaystyle\int_{5}^{10} f(x)dx=3 \quad\displaystyle\int_{1}^{10} g(x)=1.5
 \)

Seleccione una 

a) \( f(x)=2g(x) \)

b) \( \displaystyle\int_{1}^{10}f(x)dx=2\displaystyle\int_{-1}^{-10}g(x)dx \) si g es  impar

c) \( \displaystyle\int_{1}^{10} f(x)dx=\displaystyle\int_{1}^{10} g(x)dx+\displaystyle\int_{-1}^{-10} g(x)dx \) si g es par

d) \( \displaystyle\int_{1}^{5} f(x)dx=\displaystyle\int_{1}^{10} g(x)dx \)

Lo que no entiendo realmente es a que enfoca el ejercicio, no me sale el relacionar una integral que esta en dos tramos de una función f que esta expresada como suma de integrales , con otra que esta expresada en una sola

 El dato:

\( \displaystyle\int_{1}^{5} f(x) dx+\displaystyle\int_{5}^{10} f(x)dx=3  \)

 equivale a:

\( \displaystyle\int_{1}^{10}  f(x)dx=3  \)

 Ahora (a) es falsa y ya te sugerí en mi anterior respuesta como comprobarlo. ¿Lo has hecho?.

Tome los siguientes integrandos

\( \displaystyle\int_{1}^{10} \dfrac{3}{9}dx=3 \)

\( \displaystyle\int_{1}^{10} \dfrac{x}{22}dx=1.5 \)

por lo que \( f(x)\neq 2g(x) \) es correcto?

 
Citar
En cuanto (b) ten en cuenta que si \( g \) es impar, \( g(x)=-g(-x) \).

 Entonces si haces el cambio \( t=-x \):

\(  \displaystyle\int_{-1}^{-10}g(x)dx= \displaystyle\int_{1}^{10}-g(-t)dt=\displaystyle\int_{1}^{10}g(t)dt=1.5 \)
 
 ¿Conclusión?.

No entiendo porque tomas

\(  \displaystyle\int_{-1}^{-10}g(x)dx \)

no debo demostrar que

\( \displaystyle\int_{1}^{10}f(x)dx=2\displaystyle\int_{-1}^{-10}g(x)dx
 \)

ese 2 de donde aparece ??

 
Citar
Para (c) ten en cuenta que si \( g \) es par, \( g(x)=g(-x) \). Con el mismo cambio de antes:

\(  \displaystyle\int_{-1}^{-10}g(x)dx= \displaystyle\int_{1}^{10}-g(-t)dt=-\displaystyle\int_{1}^{10}g(t)dt=-1.5 \)

 ¿Conclusión?.

en este también me surge la misma duda , no entiendo como se relaciona ese resultado con

\( \displaystyle\int_{1}^{10} f(x)dx=\displaystyle\int_{1}^{10} g(x)dx+\displaystyle\int_{-1}^{-10} g(x)dx \)

 
Citar
En cuanto a (d) no sabemos cuanto vale \( \displaystyle\int_{1}^{5}f(x)dx \). Busca un ejemplo que muestre que es falsa.

Saludos.

aca puedo tomar cualquier f(x) e integrar entre los intervalos de 1 a 10 , o tiene que ser alguna f en particular ??

gracias por tus respuestas
Un camino de 1000 km se empieza a recorrer cuando se da el primer paso

10 Marzo, 2021, 11:59 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Tome los siguientes integrandos

\( \displaystyle\int_{1}^{10} \dfrac{3}{9}dx=3 \)

\( \displaystyle\int_{1}^{10} \dfrac{x}{22}dx=1.5 \)

por lo que \( f(x)\neq 2g(x) \) es correcto?

No. Porque la segunda integral está mal. Sería:

\( \displaystyle\int_{1}^{10} \dfrac{x}{22}dx=2.25 \)

Entonces corrígelo tomando:

\( \displaystyle\int_{1}^{10} \dfrac{x}{33}dx=1.5 \)

Citar
No entiendo porque tomas

\(  \displaystyle\int_{-1}^{-10}g(x)dx \)

no debo demostrar que

\( \displaystyle\int_{1}^{10}f(x)dx=2\displaystyle\int_{-1}^{-10}g(x)dx
 \)

ese 2 de donde aparece ??

¡Pero multiplica tu por dos! No entiendo la duda. Te he dado las indicaciones para que completes los detalles.

Citar
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Para (c) ten en cuenta que si \( g \) es par, \( g(x)=g(-x) \). Con el mismo cambio de antes:

\(  \displaystyle\int_{-1}^{-10}g(x)dx= \displaystyle\int_{1}^{10}-g(-t)dt=-\displaystyle\int_{1}^{10}g(t)dt=-1.5 \)

 ¿Conclusión?.

en este también me surge la misma duda , no entiendo como se relaciona ese resultado con

\( \displaystyle\int_{1}^{10} f(x)dx=\displaystyle\int_{1}^{10} g(x)dx+\displaystyle\int_{-1}^{-10} g(x)dx \)

¿De verdad no le ves relación? Inténtalo otra vez. En el resultado que indicas aparecen dos integrales sumadas. Te he indicado como gestionar una de ellas... continúa...


 
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En cuanto a (d) no sabemos cuanto vale \( \displaystyle\int_{1}^{5}f(x)dx \). Busca un ejemplo que muestre que es falsa.

aca puedo tomar cualquier f(x) e integrar entre los intervalos de 1 a 10 , o tiene que ser alguna f en particular ??
[/quote]

Cualquier función que cumpla lo que te dice el enunciado, es decir, que:

\( \displaystyle\int_{1}^{5} f(x) dx+\displaystyle\int_{5}^{10} f(x)dx=3 \)

pero en la que \( \displaystyle\int_{1}^{5} f(x) dx\neq 1.5 \).

Saludos.

10 Marzo, 2021, 08:27 pm
Respuesta #6

alucard

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hola

Hola

Tome los siguientes integrandos

\( \displaystyle\int_{1}^{10} \dfrac{3}{9}dx=3 \)

\( \displaystyle\int_{1}^{10} \dfrac{x}{22}dx=1.5 \)

por lo que \( f(x)\neq 2g(x) \) es correcto?

No. Porque la segunda integral está mal. Sería:

\( \displaystyle\int_{1}^{10} \dfrac{x}{22}dx=2.25 \)

Entonces corrígelo tomando:

\( \displaystyle\int_{1}^{10} \dfrac{x}{33}dx=1.5 \)

Citar
No entiendo porque tomas

\(  \displaystyle\int_{-1}^{-10}g(x)dx \)

no debo demostrar que

\( \displaystyle\int_{1}^{10}f(x)dx=2\displaystyle\int_{-1}^{-10}g(x)dx
 \)

ese 2 de donde aparece ??

¡Pero multiplica tu por dos! No entiendo la duda. Te he dado las indicaciones para que completes los detalles.

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Para (c) ten en cuenta que si \( g \) es par, \( g(x)=g(-x) \). Con el mismo cambio de antes:

\(  \displaystyle\int_{-1}^{-10}g(x)dx= \displaystyle\int_{1}^{10}-g(-t)dt=-\displaystyle\int_{1}^{10}g(t)dt=-1.5 \)

 ¿Conclusión?.

en este también me surge la misma duda , no entiendo como se relaciona ese resultado con

\( \displaystyle\int_{1}^{10} f(x)dx=\displaystyle\int_{1}^{10} g(x)dx+\displaystyle\int_{-1}^{-10} g(x)dx \)

¿De verdad no le ves relación? Inténtalo otra vez. En el resultado que indicas aparecen dos integrales sumadas. Te he indicado como gestionar una de ellas... continúa...


Esta vez me costo verlo pero lo pude entender después de leer y re-leer las respuestas que me brindaste , gracias y disculpa si no lo entendí en en la respuesta que me brindaste con anterioridad
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En cuanto a (d) no sabemos cuanto vale \( \displaystyle\int_{1}^{5}f(x)dx \). Busca un ejemplo que muestre que es falsa.


aca puedo tomar cualquier f(x) e integrar entre los intervalos de 1 a 10 , o tiene que ser alguna f en particular ??


Cualquier función que cumpla lo que te dice el enunciado, es decir, que:

\( \displaystyle\int_{1}^{5} f(x) dx+\displaystyle\int_{5}^{10} f(x)dx=3 \)

pero en la que \( \displaystyle\int_{1}^{5} f(x) dx\neq 1.5 \).

Saludos.

entonces la f(x) que debo proponer es una que integrada en los intervalos (0,5) y (5,10) me de el valor de 3 , es asi verdad ?
Un camino de 1000 km se empieza a recorrer cuando se da el primer paso

11 Marzo, 2021, 09:38 am
Respuesta #7

Luis Fuentes

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En cuanto a (d) no sabemos cuanto vale \( \displaystyle\int_{1}^{5}f(x)dx \). Busca un ejemplo que muestre que es falsa.


aca puedo tomar cualquier f(x) e integrar entre los intervalos de 1 a 10 , o tiene que ser alguna f en particular ??


Cualquier función que cumpla lo que te dice el enunciado, es decir, que:

\( \displaystyle\int_{1}^{5} f(x) dx+\displaystyle\int_{5}^{10} f(x)dx=3 \)

pero en la que \( \displaystyle\int_{1}^{5} f(x) dx\neq 1.5 \).

Saludos.

entonces la f(x) que debo proponer es una que integrada en los intervalos (0,5) y (5,10) me de el valor de 3 , es asi verdad ?

 No es eso. No sé porque has empezado el intervalo en cero. E incluso aunque fuese una errata, me parece más confuso como has escrito esa frase que lo que está puesto arriba con fórmula. No acabo de entender que te hace dudar.

 Debes de encontrar una función que cumpla esto:

\( \displaystyle\int_{1}^{5} f(x) dx+\displaystyle\int_{5}^{10} f(x)dx=3 \)

 es decir, que su integral entre \( 1 \) y \( 10 \) valga \( 3 \), pero sin embargo su integral entre \( 1 \) y \( 5 \) NO valga \( 1.5 \),

Saludos.

19 Marzo, 2021, 02:31 am
Respuesta #8

alucard

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muchas gracias 
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