Autor Tema: Dudas sobre un texto de números complejos

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09 Diciembre, 2020, 09:37 am
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Marcos Castillo

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¡Hola a tod@s!
Me encuentro ante un texto de un libro preuniversitario en el que habla de números complejos, y veo contradicciones entre el texto y la información que dispongo de mi calculadora. Además, me han surgido dudas acerca de la posibilidad de establecer la siguiente biyección: \( \arctan{:\mathbb{R}\rightarrow{(-\pi,\pi]}} \). Creo que no es posible, porque el conjunto final no es cerrado, es decir, no es \( [-\pi,\pi] \). Adjunto archivo con la cita completa (y supongo que un montón de contradicciones debidas a mí).
Un saludo.
No man is an island (John Donne)

09 Diciembre, 2020, 09:55 am
Respuesta #1

Masacroso

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¡Hola a tod@s!
Me encuentro ante un texto de un libro preuniversitario en el que habla de números complejos, y veo contradicciones entre el texto y la información que dispongo de mi calculadora. Además, me han surgido dudas acerca de la posibilidad de establecer la siguiente biyección: \( \arctan{:\mathbb{R}\rightarrow{(-\pi,\pi]}} \). Creo que no es posible, porque el conjunto final no es cerrado, es decir, no es \( [-\pi,\pi] \). Adjunto archivo con la cita completa (y supongo que un montón de contradicciones debidas a mí).
Un saludo.

La función tangente no está definida en \( \pi/2 \) o \( -\pi/2 \), hacia esos puntos la tangente tiende a \( +\infty  \) o a \( -\infty  \) dependiendo del límite lateral que tomemos, por tanto la función \( \arctan  \) no está definida en esos puntos. Como la función tangente es estrictamente creciente en la región \( (-\pi/2,\pi/2) \) entonces es invertible allí, así que podemos definir una inversa \( \arctan :\mathbb{R}\to (-\pi/2,\pi/2) \).

No sé si eso te aclara algo o no.

09 Diciembre, 2020, 11:39 am
Respuesta #2

mathtruco

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Hola Marcos Castillo.

Una petición personal: en el futuro escribe todo en el cuerpo del mensaje. Si ya lo tienes en word, no toma más que un par de minutos el cambio. Al menos para mí, si el post viene en un word adjunto no lo revisaré. Pero insisto, es sólo una sugerencia, no una obligación.

09 Diciembre, 2020, 11:58 am
Respuesta #3

Marcos Castillo

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¡Hola, Masacroso, mathtruco!
mathtruco, no había pensado en ello, gracias.
Masacroso,¡vaya fallo he tenido! Sí, la función arco tangente es la que dices. Pero, ¿cómo entiendo esto con las funciones Pol( y Rec(, que dan el ángulo de la forma polar al introducir las coordenadas cartesianas de un complejo, en el intervalo \( (-\pi<\theta\leq{\pi}) \)?;¿no es un intervalo más amplio el que acabo de escribir que \( (-\pi/2,\pi/2) \)? :-[
Un saludo
No man is an island (John Donne)

09 Diciembre, 2020, 02:09 pm
Respuesta #4

Marcos Castillo

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¡Hola! Perdón, acabo de darme cuenta de que ambos intervalos tienen la misma longitud. Es algo que ya había aprendido antes. Lo había olvidado  :banghead:
¡Muchas gracias, continuo!
No man is an island (John Donne)

09 Diciembre, 2020, 02:40 pm
Respuesta #5

Masacroso

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¡Hola! Perdón, acabo de darme cuenta de que ambos intervalos tienen la misma longitud. Es algo que ya había aprendido antes. Lo había olvidado  :banghead:
¡Muchas gracias, continuo!

Los intervalos \( (-\pi,\pi) \) y \( (-\pi/2,\pi/2) \) no tienen la misma longitud, la longitud del primero es \( 2\pi \) mientras que la del segundo es \( \pi \). Generalmente las calculadoras usan una función llamada \( \operatorname{atan2} \) para hacer la conversión de cartesianas a polares, mira aquí:

https://es.wikipedia.org/wiki/Arcotangente_de_dos_par%C3%A1metros

La función \( \operatorname{atan2} \) es una sobreyección desde \( \mathbb{R}^2 \) a \( (-\pi,\pi] \), pero no es continua.

09 Diciembre, 2020, 04:40 pm
Respuesta #6

Marcos Castillo

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¡Hola! Os respondo mañana. Masacroso, ¡vaya metedura de pata con la longitud de los intervalos!.
Un saludo
No man is an island (John Donne)

10 Diciembre, 2020, 10:31 am
Respuesta #7

Marcos Castillo

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Masacroso, muy interesante la función atan2. No la tengo en mi Casio fx-82MS: yo en su lugar tengo Pol( y Rec(. Y muy interesante la función asociada \( \mbox{atan2}:\mathbb{R}^2\rightarrow{(-\pi,\pi]} \), sobreyectiva (no-inyectiva). Acabo de asomarme al mundo de la teoría de conjuntos, que son la base de la explicación de todas las funciones matemáticas. Has respondido lo que yo quería saber: qué era, en qué consistía, el paso de cartesianas a polares. Muy contento con esta afirmación.
¡Muchas gracias, Masacroso, mathtruco! No más Word, mathtruco. Nos vemos.
Ah, si he errado matemáticamente en algo, decídmelo, por favor.
No man is an island (John Donne)