Autor Tema: Si \(f(t)=\sin^2(t)=X\sin(At)+Y\cos(Bt+C)\) marcar la opción correcta

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07 Diciembre, 2020, 08:42 pm
Respuesta #10

manooooh

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Hola

El problema que tendrías es que si \( P \) es falsa tanto \( P\rightarrow{Q} \) como \( P\rightarrow{\neg Q} \) serían verdaderas lo cual no te da información acerca de si \( Q \) es verdadera o no.

Con este criterio (que lo comparto), luego:

Estoy de acuerdo; pero entonces curiosamente serían todas verdaderas.

No sería correcto pues podrían ser falsas, o:

Tiene Luis razón, son todas verdaderas si lo tomas como un condicional "si se cumple que
\( f(t)=\sin^2(t)=X\sin(At)+Y\cos(Bt+C) \), entonces ...", por el hecho de que una implicación con el antecedente falso es siempre verdadera.

tampoco estaría bien pues podrían ser verdaderas. ¿No?

Independientemente de eso que a mi criterio no aporta mucho, me interesa el mensaje de ingmarov:

Creo que se podría justificar mediante la teoría de series de Fourier y las funciones pares. La suma de dos funciones pares resulta en una función par, la suma de dos funciones impares resulta en una función impar, etc.

No lo había tenido en cuenta, gracias.

El problema que veo es que por un lado \( f(t)=\sin^2(t) \) es una función par, y \( f(t)=X\sin(At)+Y\cos(Bt+C) \) a veces puede ser par o impar, dependiendo de los valores de las constantes. ¿Con esto alcanza para decir que el enunciado está mal hecho?

Saludos

07 Diciembre, 2020, 09:59 pm
Respuesta #11

Luis Fuentes

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Hola

El problema que tendrías es que si \( P \) es falsa tanto \( P\rightarrow{Q} \) como \( P\rightarrow{\neg Q} \) serían verdaderas lo cual no te da información acerca de si \( Q \) es verdadera o no.

Con este criterio (que lo comparto), luego:

Estoy de acuerdo; pero entonces curiosamente serían todas verdaderas.

No sería correcto pues podrían ser falsas, o:

Tiene Luis razón, son todas verdaderas si lo tomas como un condicional "si se cumple que
\( f(t)=\sin^2(t)=X\sin(At)+Y\cos(Bt+C) \), entonces ...", por el hecho de que una implicación con el antecedente falso es siempre verdadera.

tampoco estaría bien pues podrían ser verdaderas. ¿No?

Lo que digo es que estas cuatro proposiciones son verdaderas:

A) Si \( f(t)=\sin^2(t)=X\sin(At)+Y\cos(Bt+C) \), entonces \( A\neq B \).
B) Si \( f(t)=\sin^2(t)=X\sin(At)+Y\cos(Bt+C) \), entonces \( A=B \)
C) Si \( f(t)=\sin^2(t)=X\sin(At)+Y\cos(Bt+C) \), entonces \( C=0 \).
D) Si \( f(t)=\sin^2(t)=X\sin(At)+Y\cos(Bt+C) \), entonces \( Y=0 \).

Saludos.

07 Diciembre, 2020, 10:13 pm
Respuesta #12

manooooh

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Hola

Lo que digo es que estas cuatro proposiciones son verdaderas:

A) Si \( f(t)=\sin^2(t)=X\sin(At)+Y\cos(Bt+C) \), entonces \( A\neq B \).
B) Si \( f(t)=\sin^2(t)=X\sin(At)+Y\cos(Bt+C) \), entonces \( A=B \)
C) Si \( f(t)=\sin^2(t)=X\sin(At)+Y\cos(Bt+C) \), entonces \( C=0 \).
D) Si \( f(t)=\sin^2(t)=X\sin(At)+Y\cos(Bt+C) \), entonces \( Y=0 \).

De acuerdo. De todas formas no sabrías qué opción marcar porque pueden ser la a) y b) verdaderas, todas, sólo la d), ninguna (del enunciado original)... A eso iba.

Saludos

07 Diciembre, 2020, 10:23 pm
Respuesta #13

Luis Fuentes

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Hola

De acuerdo. De todas formas no sabrías qué opción marcar porque pueden ser la a) y b) verdaderas, todas, sólo la d), ninguna (del enunciado original)... A eso iba.

Francamente yo creo que, o bien el ejercicio tiene una errata o bien, el que lo puso no se dio cuenta de que nunca se cumple la premisa que propone.

Insisto en que tomado al pie de la letra lo que deberías de marcar es que son todas verdaderas.

Saludos.


07 Diciembre, 2020, 10:45 pm
Respuesta #14

Luis Fuentes

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Hola

 Para comprobar que la igualdad de la premisa es imposible nota lo siguiente.

 Si tomas \( t=0 \) te queda: \( 0=Ycos(C) \). \( Y \) no puede ser cero, porque entonces \( Xsin(At) \) tomaría valores negativos y \( f(x) \) es no negativa. Por tanto \( cos(C)=0 \) y \( C=\dfrac{\pi}{2}+k\pi \).
 
 Pero \( cos(Bt+\dfrac{\pi}{2}+k\pi)=\pm sin(Bt) \).

 Sin pérdida de generalidad salvo signo de \( Y \) eso te lleva a:

\(  sin^2(t)=Xcos(At)+Ysin(Bt) \)

 Ahora todas las derivadas impares de \( sin^2(t) \) en \( t=0 \) son nulas.

 Eso te lleva a:

\(  0=AX+BY \)
\(  0=-A^3X-B^3Y \)

 De donde:

\(  \dfrac{-B}{A}=\dfrac{-B^3}{A^3} \)

 y así \( A=B \) ó \( A=-B \).

 Pero entonces quedaría:

\(  sin^2(t)=(X+Y)sin(At) \)

ó

\(  sin^2(t)=(X-Y)sin(At) \)

 Y en ambos casos la función de la derecha o es constante igual a cero o toma valores negativos.

Saludos.

P.D. No sé si hay una forma más rápida de concluir esa imposibilidad.

07 Diciembre, 2020, 11:33 pm
Respuesta #15

hméndez

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Hola

 Para comprobar que la igualdad de la premisa es imposible nota lo siguiente.

 Si tomas \( t=0 \) te queda: \( 0=Ycos(C) \). \( Y \) no puede ser cero, porque entonces \( Xsin(At) \) tomaría valores negativos y \( f(x) \) es no negativa. Por tanto \( cos(C)=0 \) y \( C=\dfrac{\pi}{2}+k\pi \).
 
 Pero \( cos(Bt+\dfrac{\pi}{2}+k\pi)=\pm sin(Bt) \).

 Sin pérdida de generalidad salvo signo de \( Y \) eso te lleva a:

\(  sin^2(t)=Xcos(At)+Ysin(Bt) \)

 Ahora todas las derivadas impares de \( sin^2(t) \) en \( t=0 \) son nulas.

 Eso te lleva a:

\(  0=AX+BY \)
\(  0=-A^3X-B^3Y \)

 De donde:

\(  \dfrac{-B}{A}=\dfrac{-B^3}{A^3} \)

 y así \( A=B \) ó \( A=-B \).

 Pero entonces quedaría:

\(  sin^2(t)=(X+Y)sin(At) \)

ó

\(  sin^2(t)=(X-Y)sin(At) \)

 Y en ambos casos la función de la derecha o es constante igual a cero o toma valores negativos.

Saludos.

P.D. No sé si hay una forma más rápida de concluir esa imposibilidad.

\( sin^2(t)=Xsin(At)+Ycos(Bt+C) \)
\( \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}cos(2t)=Xsin(At)+Ycos(Bt+C) \)
Por tanto \( Xsin(At)\equiv{\dfrac{1}{2}} \)  (Absurdo)

Saludos

08 Diciembre, 2020, 12:09 am
Respuesta #16

ancape

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Hola

 Para comprobar que la igualdad de la premisa es imposible nota lo siguiente.

 Si tomas \( t=0 \) te queda: \( 0=Ycos(C) \). \( Y \) no puede ser cero, porque entonces \( Xsin(At) \) tomaría valores negativos y \( f(x) \) es no negativa. Por tanto \( cos(C)=0 \) y \( C=\dfrac{\pi}{2}+k\pi \).
 
 Pero \( cos(Bt+\dfrac{\pi}{2}+k\pi)=\pm sin(Bt) \).

 Sin pérdida de generalidad salvo signo de \( Y \) eso te lleva a:

\(  sin^2(t)=Xcos(At)+Ysin(Bt) \)

 Ahora todas las derivadas impares de \( sin^2(t) \) en \( t=0 \) son nulas.

 Eso te lleva a:

\(  0=AX+BY \)
\(  0=-A^3X-B^3Y \)

 De donde:

\(  \dfrac{-B}{A}=\dfrac{-B^3}{A^3} \)

 y así \( A=B \) ó \( A=-B \).

 Pero entonces quedaría:

\(  sin^2(t)=(X+Y)sin(At) \)

ó

\(  sin^2(t)=(X-Y)sin(At) \)

 Y en ambos casos la función de la derecha o es constante igual a cero o toma valores negativos.

Saludos.

P.D. No sé si hay una forma más rápida de concluir esa imposibilidad.

Queda claro que la igualdad de la premisa nunca es cierta está plenamente demostrada con tu razonamiento. Lo que ya no estoy de acuerdo es que eso implique que todos los apartados sean falsos o todos sean verdaderos como he podido leer antes en algunos de los comentarios que se han hecho en este hilo. Si esto fuese así sería cierta la contradicción \( A=B  \) y \( A\neq B \) lo que haría replantearme todo mi razonamiento desde que tuve siete años.
Creo que tal y como está enunciado la respuesta es:
En la hipótesis de que \( Sin(t^2)=XSin(At)+YCos(Bt+C)  \) habría que marcar cual de las afirmaciones que siguen es verdadera, pero como no es cierta no debemos marcar nada

!!Ojo¡¡ que la frase anterior no dice si a) b) c) o d) son verdaderas o falsas, simplemente se dice que no se dan las condiciones para que haya que responder a la pregunta.

Saludos

08 Diciembre, 2020, 06:46 am
Respuesta #17

ingmarov

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...
Creo que se podría justificar mediante la teoría de series de Fourier y las funciones pares. La suma de dos funciones pares resulta en una función par, la suma de dos funciones impares resulta en una función impar, etc.

No lo había tenido en cuenta, gracias.

El problema que veo es que por un lado \( f(t)=\sin^2(t) \) es una función par, y \( f(t)=X\sin(At)+Y\cos(Bt+C) \) a veces puede ser par o impar, dependiendo de los valores de las constantes. ¿Con esto alcanza para decir que el enunciado está mal hecho?

...

Estaba pensando en la serie de Fourier de \( f(t) \)  que es \[ f(t)=sen^2(t)=\bf\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}cos(2t) \].
Se espera que la serie de Fourier de una función par sea una serie de cosenos, siendo sus frecuencias, armónicos de la frecuencia fundamental. Entonces no tendríamos términos senoidales. Pero, me parece que no es tan sencillo, o me falta reflexionar y probar algunas cosas. Cosas como ¿Es posible mediante ajuste del argumento del coseno anular la parte senoidal? No lo he revisado, pero lo tengo curiosidad y lo haré.

Por suerte ya te han ayudado a resolver...


...
Queda claro que la igualdad de la premisa nunca es cierta está plenamente demostrada con tu razonamiento. Lo que ya no estoy de acuerdo es que eso implique que todos los apartados sean falsos o todos sean verdaderos como he podido leer antes en algunos de los comentarios que se han hecho en este hilo. Si esto fuese así sería cierta la contradicción \( A=B  \) y \( A\neq B \) lo que haría replantearme todo mi razonamiento desde que tuve siete años.
...

Yo creo maestro ancape que se refieren a esto:




Saludos


No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

08 Diciembre, 2020, 07:33 am
Respuesta #18

manooooh

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Hola Luis, vaya estupenda labor hiciste :aplauso: :aplauso:

Aun así por mis escasos conocimientos, hay algunas partes que no comprendo:

Ahora todas las derivadas impares de \( sin^2(t) \) en \( t=0 \) son nulas.

 Eso te lleva a:

\(  0=AX+BY \)
\(  0=-A^3X-B^3Y \)

No entiendo qué tiene que ver las derivadas impares con el sistema que propones luego. Tampoco logro comprender cómo obtienes dicho sistema (¿por qué hay una \( A \) y una \( X \) multiplicándose, sumándose a \( BY \).....?).

Pero entonces quedaría:

\(  sin^2(t)=(X+Y)sin(At) \)

ó

\(  sin^2(t)=(X-Y)sin(At) \)

 Y en ambos casos la función de la derecha o es constante igual a cero o toma valores negativos.

No logro comprender por qué las funciones de la derecha son nulas o toman valores negativos.

P.D. No sé si hay una forma más rápida de concluir esa imposibilidad.

No te preocupes Luis, imposible que esta deducción asombrosa se logre en un examen de 2 horas.

\( sin^2(t)=Xsin(At)+Ycos(Bt+C) \)
\( \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}cos(2t)=Xsin(At)+Ycos(Bt+C) \)
Por tanto \( Xsin(At)\equiv{\dfrac{1}{2}} \)  (Absurdo)

¡Vaya! Había pensado en tomar la identidad del \( \sin^2(t) \) pero no lo había relacionado para comparar término a término. ¿El resto piensa también que es una justificación válida (y más rápida)?

Gracias.

Saludos

08 Diciembre, 2020, 08:47 am
Respuesta #19

Luis Fuentes

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Hola

Hola Luis, vaya estupenda labor hiciste :aplauso: :aplauso:

Aun así por mis escasos conocimientos, hay algunas partes que no comprendo:

Sin duda me he explicado mal, porque sabes sobradamente, todo lo necesario para entender lo que hice. ¡Pero MUY sobradamente!.

Citar
Ahora todas las derivadas impares de \( sin^2(t) \) en \( t=0 \) son nulas.

 Eso te lleva a:

\(  0=AX+BY \)
\(  0=-A^3X-B^3Y \)

No entiendo qué tiene que ver las derivadas impares con el sistema que propones luego. Tampoco logro comprender cómo obtienes dicho sistema (¿por qué hay una \( A \) y una \( X \) multiplicándose, sumándose a \( BY \).....?).

 Simplemente en la igualdad que queremos analizar (tras haber deducido que \( C=\pi/2+k\pi \) y hecho la simplificación):

\( sin^2(t)=Xsin(At)+Ysin(Bt) \)

 Derivamos sucesivamente. Una vez:

\( 2sin(t)cos(t)=AXcos(At)+BYcos(Bt) \)

 que simplificado queda:

\(  sin(2t)=AXcos(At)+BYcos(Bt) \)
.
  Volvemos a derivar:

\(  2cos(2t)=-A^2Xsin(At)-B^2Ysin(Bt) \)

 Y otra vez:

\(  -4sin(2t)=-A^3Xcos(At)-B^3Ycos(Bt) \)

 Y luego en todas esas igualdades tomamos \( t=0 \).

Citar
Pero entonces quedaría:

\(  sin^2(t)=(X+Y)sin(At) \)

ó

\(  sin^2(t)=(X-Y)sin(At) \)

 Y en ambos casos la función de la derecha o es constante igual a cero o toma valores negativos.

No logro comprender por qué las funciones de la derecha son nulas o toman valores negativos.

Una función de la forma \( cte\cdot sin(At) \) o bien es nula si \( cte=0 \) o bien toma valores positivos y negativos porque el seno toma valores positivos y negativos,

Citar
No te preocupes Luis, imposible que esta deducción asombrosa se logre en un examen de 2 horas.

¿Sigues pensado eso? Son unas cuentas elementales.

No obstante si piensas en términos de examen: me mantengo en mi teoría. Quien propuso el problema pensaba en otra cosa o copió mal el enunciado. Lo que yo haría como estudiante es preguntar al profesor si no habrá una errata en el enunciado; si dice que no, contestaría como arriba.

Citar
\( sin^2(t)=Xsin(At)+Ycos(Bt+C) \)
\( \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}cos(2t)=Xsin(At)+Ycos(Bt+C) \)
Por tanto \( Xsin(At)\equiv{\dfrac{1}{2}} \)  (Absurdo)

¡Vaya! Había pensado en tomar la identidad del \( \sin^2(t) \) pero no lo había relacionado para comparar término a término. ¿El resto piensa también que es una justificación válida (y más rápida)?

Pues la clave está si está totalmente sustentado con algún teorema (quizá sobre series de Fourier, no lo se) el que de esa igualdad se deduzca la igualdad término a término.

Por ejemplo \( sin(t)=cos(-t+\dfrac{\pi}{2})  \), es decir, una función tipo \( sin(At+B) \) es igual a otra tipo \( cos(Ct+D) \); con eso quiero decir que a vuelapluma para mi no es tan obvio que pueda concluirse así sin más.

Saludos.