Autor Tema: Raiz cuadrada de un número complejo

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29 Noviembre, 2020, 09:34 am
Respuesta #10

Fernando Revilla

  • Es más fácil engañar a alguien que convencerle de que ha sido engañado.
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1) Supongamos que \( b\neq{0} \), entonces
\( r_1=x^2=\dfrac{a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}>0,\quad r_2=-y^2=\dfrac{a- \sqrt{a^2+b^2}}{2}<0 \)
En consecuencia se verifica
\( \left|x\right|=\sqrt{\dfrac{a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}},\quad \left|y\right|=\sqrt{\dfrac{-a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}} \)
\( \left|x\right| \), es decir, ¿por qué el valor absoluto?;
\( \left|y\right| \), la misma pregunta.

Como \( x^2>0 \), \( x^2 \) tiene dos raíces reales a saber \( x=\left |{x}\right | \) y \( x=-\left |{x}\right | \). Esto, nos permite separar la raíz positiva de la negativa. Idem para \( y^2 \).

2) Usando la relación \( 2xy=b \), podemos deducir la elección de los signos para \( x \) e \( y \)
\( \displaystyle\sqrt{a+bi}=\pm \left(\sqrt{\frac{a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}}+\sqrt{\frac{-a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}}i\right)\text{ si }b>0, \)
\( \displaystyle\sqrt{a+bi}=\pm \left(\sqrt{\frac{a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}}-\sqrt{\frac{-a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}}i\right)\text{ si }b<0. \)
¿De qué manera usando la relación \( 2xy=b \), podemos deducir la elección de los signos para \( x \) e \( y \)?

Se ha de cumplir (por \( (1) \)) la relación \( xy=b/2 \). Si \( b>0 \) el producto \( xy \) ha de ser positivo y esto ocurre para \( x=\left |{x}\right |,y=\left |{y}\right | \) o para \( x=-\left |{x}\right |,y=-\left |{y}\right | \) de donde se obtienen las dos raíces de \( a+bi \). Análogo razonamiento para \( b<0 \).

29 Noviembre, 2020, 02:22 pm
Respuesta #11

Marcos Castillo

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Con el ejercicio que me propusiste quizás mejor:
\( \sqrt{3-4i}=x+yi\Leftrightarrow (x+yi)^2=3-4i\Leftrightarrow x^2-y^2+2xyi=3-4i \)
\( \Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x^2-y^2=a\\& 2xy=b.\end{aligned}\end{matrix}\right.\qquad (1) \)
Resolvamos el sistema anterior. Sustituyendo \( y=-2/x \) en la primera ecuación
\( x^2-\dfrac{4}{x^2}=3,\;\;x^4-3x^2-4=0,\;\;x^2=\dfrac{3\pm\sqrt{25}}{2}=\{4,-1\} \)
Como \( x \) es real, \( x=\pm 2 \), y por tanto, \( y=\mp 1 \). Es decir, \( \sqrt{3-4i}=\pm(2-i) \)(¿Qué diferencia hay entre \( \pm \) y \( \mp \) en este contexto? ¿por qué \( x>0 \) y \( y<0 \)?¿porque \( y=-2/x \)?; ¿no podría haber sido  \( -y=2/x \)?. :-\

Esto, trasladado a la teoría:
\( \sqrt{3-4i}=x+yi\Leftrightarrow (x+yi)^2=3-4i\Leftrightarrow x^2-y^2+2xyi=3-4i \)
\( \Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x^2-y^2=3\\& 2xy=-4\end{aligned}\end{matrix}\right.\qquad (1) \)

De la segunda ecuación de (1), \( xy=b/2=-4/2 \), y llamando \( r_1=x^2, \), \( r_2=-y^2 \), tenemos \( r_1r_2=-16/4 \). De la primera ecuación, \( r_1+r_2=3 \). Una ecuación de segundo grado cuyas raíces son \( r_1 \) y \( r_2 \) es \( (r-r_1)(r-r_2)=0 \), o bien
\( r^2-ar-\dfrac{b^2}{4}=0\Rightarrow{r^2-3r-\dfrac{16}{4}=0} \)
\( b\neq 0, \), entonces
\( r_1=x^2=\dfrac{3+ \sqrt{9+16}}{2}>0,\quad r_2=-y^2=\dfrac{3- \sqrt{9+16}}{2}<0. \)
En consecuencia se verifica \( \left|x\right|=\sqrt{\dfrac{3+ \sqrt{9+16}}{2}},\quad \left|y\right|=\sqrt{\dfrac{-3+ \sqrt{9+16}}{2}} \)
Usando la relación \( 2xy=-4 \) podemos deducir la elección de los signos para la elección de los signos para las soluciones de \( x \) e \( y \):
\( \displaystyle\sqrt{a+bi}=\pm \left(\sqrt{\dfrac{a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}}-\sqrt{\dfrac{-a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}}i\right)\text{ si }b<0 \)
\( \displaystyle\sqrt{3-4i}=\pm \left(\sqrt{\dfrac{3+ \sqrt{9+16}}{2}}-\sqrt{\dfrac{-3+ \sqrt{9+16}}{2}}i\right)\text{ si }b<0 \)
Sé que te estoy preguntando otra vez quizás, pero, ¿por qué es positivo \( x \) y negativo \( y \). Sí, el producto tiene que ser negativo, pero, ¿por qué no \( x \) negativo e \( y \) positivo? ??? Yo creo que porque ya lo dice el desarrollo del ejercicio: \( r_2=-y^2=\dfrac{3- \sqrt{9+16}}{2}<0 \). ¿Es esta la explicación?.

Espero que mi exposición no haya sido engorrosa y pesada. Creo que iterativa desde luego ¡Un saludo!

No man is an island (John Donne)

29 Noviembre, 2020, 05:04 pm
Respuesta #12

Fernando Revilla

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Cuando te piden hallar \( \sqrt{3-4i} \) planteas la definción de raíz, resuelves un sistema vía una ecuación bicuadrada y "santas pascuas". Como tú bien dices,

Yo creo que porque ya lo dice el desarrollo del ejercicio: \( r_2=-y^2=\dfrac{3- \sqrt{9+16}}{2}<0 \).

Cuando te piden hallar \( \sqrt{a+bi} \) te piden hallar las raíces cuadradas de "todos los números complejos del mundo" con sus distintas sensibilidades :). De la misma manera que cuando resuelves por ejemplo la ecuación \( x^2-5x+6=0 \), te salen de manera automática las soluciones \( x=2,x=3 \). Sin embargo cuando resuelves la ecuación \( ax^2+bx+c=0 \) estas resolviendo todas "todos las ecuaciones de segundo grado del mundo" con sus distintas sensibilidades :).

29 Noviembre, 2020, 06:02 pm
Respuesta #13

Marcos Castillo

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Perfecto. Igual me quedan algunos "pelillos", que concretaré mañana :banghead:
¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

30 Noviembre, 2020, 11:59 am
Respuesta #14

Marcos Castillo

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En consecuencia se verifica
\( \left|x\right|=\sqrt{\dfrac{a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}},\quad \left|y\right|=\sqrt{\dfrac{-a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}} \)
\( \left|x\right| \), es decir, ¿por qué el valor absoluto?;
\( \left|y\right| \), la misma pregunta.

Como \( x^2>0 \), \( x^2 \) tiene dos raíces reales a saber \( x=\left |{x}\right | \) y \( x=-\left |{x}\right | \). Esto, nos permite separar la raíz positiva de la negativa. Idem para \( y^2 \).


¿Separar la raíz positiva de la negativa?¿Son iguales pero de signo contrario?¿Por qué la positiva?

Es la única duda que me queda.
¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

30 Noviembre, 2020, 01:32 pm
Respuesta #15

Fernando Revilla

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¿Separar la raíz positiva de la negativa?¿Son iguales pero de signo contrario?¿Por qué la positiva? Es la única duda que me queda.

Es que no elegimos sólo la positiva. En cada caso elegimos las dos raíces, la positiva y la negativa. Tenemos,

        \( x^2=\dfrac{a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}>0\Rightarrow \begin{cases}x=|x|=+\sqrt{\dfrac{a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}}\\\qquad \text{o}\\ x=-|x|=-\sqrt{\dfrac{a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}}\end{cases} \)

       \( y^2=\dfrac{-a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}>0\Rightarrow \begin{cases}y=|y|=+\sqrt{\dfrac{-a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}}\\\qquad \text{o}\\ y=-|y|=-\sqrt{\dfrac{-a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}}\end{cases} \)

Tenemos dos valores para \( x \) y dos valores para \( y \). Ahora bien, los tenemos que elegir de tal manera que \( xy=b/2 \), por eso han de elegirse según el signo de \( b \). Por ejemplo si \( b<0 \) esto es posible cuando \( x=|x|,y=-|y| \) o cuando \( x=-|x|,y=|y| \). Análogo razonamiento si \( b>0 \).

30 Noviembre, 2020, 06:45 pm
Respuesta #16

Marcos Castillo

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 :aplauso:
¡Genial, Fernando Revilla!
Repasando el hilo, creo que has estado genial. Has tenido una enorme paciencia, y hemos puesto algo en común, que es el título del hilo. Sigo adelante.
No sé si te he comentado: estoy matriculado de una asignatura del Grado en Física por la Uned, Análisis. Estoy con los capítulos preliminares. Sin prisa pero sin pausa. ¿Por qué acudo a este foro y no al de la Uned? Estoy aprendiendo a manejarme, pero los preliminares no tienen un foro concreto. Me han dicho que publique en uno, pero yo personalmente prefiero este foro.
¡Gracias!
No man is an island (John Donne)

30 Noviembre, 2020, 07:11 pm
Respuesta #17

Fernando Revilla

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¡Genial, Fernando Revilla!
Repasando el hilo, creo que has estado genial. Has tenido una enorme paciencia, y hemos puesto algo en común, que es el título del hilo. Sigo adelante.
No sé si te he comentado: estoy matriculado de una asignatura del Grado en Física por la Uned, Análisis. Estoy con los capítulos preliminares. Sin prisa pero sin pausa. ¿Por qué acudo a este foro y no al de la Uned? Estoy aprendiendo a manejarme, pero los preliminares no tienen un foro concreto. Me han dicho que publique en uno, pero yo personalmente prefiero este foro.
¡Gracias!

Estupendo, especialmente lo de sin prisa pero sin pausa :). Es satisfactorio responder a personas con auténtica pasión por aprender, más allá de los resultados de un examen.