Autor Tema: Raiz cuadrada de un número complejo

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28 Noviembre, 2020, 10:05 am
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Marcos Castillo

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http://fernandorevilla.es/blog/2015/02/07/raiz-cuadrada-de-un-numero-complejo/

Hola estimado foro, en este enlace está la demostración de cómo se calcula la raíz cuadrada de un número complejo. Mi objetivo en este hilo es entender la demostración. He echado un vistazo por encima, y quería preguntaros varias cosas. Ahí va la primera:

\( \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x^2-y^2=a\\& 2xy=b.\end{aligned}\end{matrix}\right.\qquad (1) \)

De la segunda ecuación de (1), \( xy=-b/2 \). Yo juraría que de la segunda ecuación, \( xy=b/2 \).

¿Por qué negativo?

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

28 Noviembre, 2020, 10:31 am
Respuesta #1

Fernando Revilla

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28 Noviembre, 2020, 10:37 am
Respuesta #2

Fernando Revilla

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Bien, creo que ha sido sólo ese despiste. Ya está corregido. Sigue y plantea las dudas que te vayan apareciendo.

28 Noviembre, 2020, 10:46 am
Respuesta #3

Fernando Revilla

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http://fernandorevilla.es/blog/2015/02/07/raiz-cuadrada-de-un-numero-complejo/
Hola estimado foro, en este enlace está la demostración de cómo se calcula la raíz cuadrada de un número complejo. Mi objetivo en este hilo es entender la demostración.

Antes de mirar ese enlace te ayudará a comprenderlo mejor si miras previamente http://fernandorevilla.es/blog/2015/02/06/operaciones-con-numeros-complejos/ (apartado 1. f) y apartado 2.).

28 Noviembre, 2020, 12:09 pm
Respuesta #4

Marcos Castillo

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¡Hola Fernando!
\( \displaystyle\frac{z-1}{z+1}=\frac{z-1}{z+1}\cdot\frac{\overline{z}+1}{\overline{z}+1}=\frac{\left|z\right|^2-1}{\left|z\right|^2+1+2\text{Re }z}+\frac{2\text{Im }z}{\left|z\right|^2+1+2\text{Re }z}i. \)

Casi no lo entiendo, pero al ver el código LaTeX veo que el cociente \( \displaystyle\frac{z-1}{z+1} \) se multiplica por \( \dfrac{\overline{z}+1}{\overline{z}+1} \) (el tema de los números complejos me encanta). No se percibe a primera vista que se multiplica y se divide por el conjugado más el uno

He entendido los ejercicios de la primera pregunta, en especial el apartado f, en el que se calcula la raíz de un número complejo.
Sigo leyendo. Ahora voy a hacer las tareas domésticas.

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

28 Noviembre, 2020, 12:34 pm
Respuesta #5

Fernando Revilla

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He entendido los ejercicios de la primera pregunta, en especial el apartado f, en el que se calcula la raíz de un número complejo. Sigo leyendo.

Perfecto.


28 Noviembre, 2020, 09:16 pm
Respuesta #6

Marcos Castillo

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\( r^2-ar-\frac{b^2}{4}=0 \)
Hola Fernando. ¿Esta ecuación? No la conecto con el enunciado previo.
¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

28 Noviembre, 2020, 09:42 pm
Respuesta #7

Fernando Revilla

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\( r^2-ar-\frac{b^2}{4}=0 \) Hola Fernando. ¿Esta ecuación? No la conecto con el enunciado previo.

Una ecuación de segundo grado con soluciones \( r_1,r_2 \) es claramente \( (r-r_1)(r-r_2)=0 \). Operando obtienes \( r^2-(r_1+r_2)+r_1r_2=0 \). Ahora basta que sustituyas \( r_1,r_2 \) por sus valores (\( x^2 \) y \( -y^2 \)) y apliques la relación \( (1) \).

28 Noviembre, 2020, 10:10 pm
Respuesta #8

Marcos Castillo

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 :-[, he publicado demasiado rápido. Claro, estaba delante de los ojos. Entendido.
¡Hasta mañana!
No man is an island (John Donne)

29 Noviembre, 2020, 08:26 am
Respuesta #9

Marcos Castillo

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¡Hola! Espero no estar  publicando precipitadamente. Lo he estudiado. Pero dos cuestiones:
1)
Supongamos que \( b\neq{0} \), entonces
\( r_1=x^2=\dfrac{a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}>0,\quad r_2=-y^2=\dfrac{a- \sqrt{a^2+b^2}}{2}<0 \)
En consecuencia se verifica
\( \left|x\right|=\sqrt{\dfrac{a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}},\quad \left|y\right|=\sqrt{\dfrac{-a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}} \)
\( \left|x\right| \), es decir, ¿por qué el valor absoluto?;
\( \left|y\right| \), la misma pregunta.

2) Usando la relación \( 2xy=b \), podemos deducir la elección de los signos para \( x \) e \( y \)
\( \displaystyle\sqrt{a+bi}=\pm \left(\sqrt{\frac{a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}}+\sqrt{\frac{-a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}}i\right)\text{ si }b>0, \)
\( \displaystyle\sqrt{a+bi}=\pm \left(\sqrt{\frac{a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}}-\sqrt{\frac{-a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}}i\right)\text{ si }b<0. \)
¿De qué manera usando la relación \( 2xy=b \), podemos deducir la elección de los signos para \( x \) e \( y \)?

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)