[Julio_fmat]

La formula de Cardano para resolver la ecuación cubica \( x^3+px+q=0 \) es \( x=\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}} \). Verificar la identidad \( (2\pm\sqrt{-1})^3=2\pm\sqrt{-121} \).

Hola, me pueden ayudar con este ejercicio? Gracias.

[martiniano]

Hola.

La formula de Cardano para resolver la ecuación cubica \( x^3+px+q=0 \) es \( x=\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}} \). Verificar la identidad \( (2\pm\sqrt{-1})^3=2\pm\sqrt{-121} \).

La fórmula para resolver la ecuación está incompleta. Sería:

\( x=\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}+    \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}   \)

De todas formas, no veo mucha relación con la pregunta. Aplica lo del binomio de Newton y sale rápido.

Un saludo.

[Julio_fmat]

Gracias, no me habia dado cuenta.

\( \begin{eqnarray*}
(2\pm \sqrt{-1})^3&=&2^3\pm 3\cdot 2^2\sqrt{-1}+3\cdot 2\cdot (\sqrt{-1})^2\pm (\sqrt{-1})^3\\
&=&8\pm 12\sqrt{-1}-6-\sqrt{-1}\\
&=&2\pm 11\sqrt{-1}\\
&=&2\pm \sqrt{-121}
\end{eqnarray*}
 \)

Saludos.