Autor Tema: Teorema de Gauss 1

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25 Noviembre, 2020, 12:22 am
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weimar

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Calcule $$\iint_{S}F.ndS $$ donde $$F(x,y,z)=(x,-2y+e^x \cos z, z+x^2)$$ y $$S$$ es definida por

$$\{ z=9-x^2-y^2 , 0 \leq z  \leq 5  \}, \{ z=5 , 1 \leq x^2+y^2  \leq 4  \} , \{ z=8-3(x^2+y^2) , x^2+y^2  \leq 1  \}$$

Bueno , calcule el divergente y me dio cero, pero ahora tengo que parametrizar cada superficie que encierra el solido

$$\iint_{S_1}F.n_1 dS+\iint_{S}F.ndS=0$$

$$S_1: z=0, x^2+y^2 \leq 9 \longrightarrow{  \varphi(r\cos \theta, r\sin \theta, 0)}  $$  la normal pedida sale $$(0,0,-r)$$
luego $$\iint_{S_1}F.n_1 dS= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3}-r^3 \cos ^2 \theta dr d\theta= -\frac{81 \pi}{4}$$

esta bien si lo planteo asi ? o tambien deberia calcular el flujo para la superficie $$S_3: z=5 ,1 \leq x^2+y^2 \leq{4}$$
 :-\ :-\

25 Noviembre, 2020, 04:37 am
Respuesta #1

ingmarov

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Hola

Calcule $$\iint_{S}F.ndS $$ donde $$F(x,y,z)=(x,-2y+e^x \cos z, z+x^2)$$ y $$S$$ es definida por

$$\{ z=9-x^2-y^2 , 0 \leq z  \leq 5  \}, \{ z=5 , 1 \leq x^2+y^2  \leq 4  \} , \{ z=8-3(x^2+y^2) , x^2+y^2  \leq 1  \}$$

Bueno , calcule el divergente y me dio cero, pero ahora tengo que parametrizar cada superficie que encierra el solido

$$\iint_{S_1}F.n_1 dS+\iint_{S}F.ndS=0$$

$$S_1: z=0, x^2+y^2 \leq 9 \longrightarrow{  \varphi(r\cos \theta, r\sin \theta, 0)}  $$  la normal pedida sale $$(0,0,-r)$$
luego $$\iint_{S_1}F.n_1 dS= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3}-r^3 \cos ^2 \theta dr d\theta= -\frac{81 \pi}{4}$$

esta bien si lo planteo asi ? o tambien deberia calcular el flujo para la superficie $$S_3: z=5 ,1 \leq x^2+y^2 \leq{4}$$
 :-\ :-\

¿La divergencia te da cero? no me parece que la divergencia del campo dado sea cero.

La regiós es como en la imagen ¿verdad? no se ve complicada.


Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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25 Noviembre, 2020, 12:14 pm
Respuesta #2

Bobby Fischer

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Hola,

$$S_1: z=0, x^2+y^2 \leq 9 \longrightarrow{  \varphi(r\cos \theta, r\sin \theta, 0)}  $$  la normal pedida sale $$(0,0,-r)$$

Ahí estás considerando una "tapadera" que no forma parte de la superficie.

¿La divergencia te da cero? no me parece que la divergencia del campo dado sea cero.

La divergencia sí da $$0$$

25 Noviembre, 2020, 02:33 pm
Respuesta #3

weimar

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Hola, la duda es la siguiente puedo cosiderar: Sea $$W\subseteq{R^3}$$  el solido cuya frontera es $$\partial W=S \cup{S_{1}}$$ luego por el teorema de Gauss:

$$\iint_{S}F.ndS+\iint_{S_1}F.n_1 dS=\iiint_{W}div(F)dW=0$$

donde $$S_1: z=0 , x^2+y^2 =9 $$

Aqui considero la superficie $$S$$ abierta y la cierro con la tapa de abajo $$S_1$$ para aplicar Gauss.
o

Sea $$W\subseteq{R^3}$$  el solido cuya frontera es $$\partial W=S \cup{S_{1}} \cup S_2$$ luego por el teorema de Gauss:

$$\iint_{S}F.ndS+\iint_{S_1}F.n_1 dS+\iint_{S_2}F.n_2 dS=\iiint_{W}div(F)dW=0$$


donde $$S_1: z=0 , x^2+y^2 =9 $$ y $$S_2: z=5 , 1 \leq  x^2+y^2 \leq{ 4}$$

Aqui considero la superficie $$S$$ abierta y la cierro con la tapa de abajo $$S_1$$ y la tapa del plano $$z=5$$ osea $$S_2$$
y ai aplico Gauss

 :-\ :-\ :-\

25 Noviembre, 2020, 04:29 pm
Respuesta #4

ingmarov

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Hola

...
¿La divergencia te da cero? no me parece que la divergencia del campo dado sea cero.

La divergencia sí da $$0$$

Ah es verdad, qué oxidado estoy recordaba mal la divergencia, la recordaba similar al gradiente como un vector.

Entonces significa que el flujo del campo en todo el sólido dado es nulo. No habría nada qué calcular.

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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25 Noviembre, 2020, 07:37 pm
Respuesta #5

Bobby Fischer

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Hola, la duda es la siguiente puedo cosiderar: Sea $$W\subseteq{R^3}$$  el solido cuya frontera es $$\partial W=S \cup{S_{1}}$$ luego por el teorema de Gauss:

$$\iint_{S}F.ndS+\iint_{S_1}F.n_1 dS=\iiint_{W}div(F)dW=0$$

donde $$S_1: z=0 , x^2+y^2 =9 $$

Aqui considero la superficie $$S$$ abierta y la cierro con la tapa de abajo $$S_1$$ para aplicar Gauss.
o

Sea $$W\subseteq{R^3}$$  el solido cuya frontera es $$\partial W=S \cup{S_{1}} \cup S_2$$ luego por el teorema de Gauss:

$$\iint_{S}F.ndS+\iint_{S_1}F.n_1 dS+\iint_{S_2}F.n_2 dS=\iiint_{W}div(F)dW=0$$


donde $$S_1: z=0 , x^2+y^2 =9 $$ y $$S_2: z=5 , 1 \leq  x^2+y^2 \leq{ 4}$$

Aqui considero la superficie $$S$$ abierta y la cierro con la tapa de abajo $$S_1$$ y la tapa del plano $$z=5$$ osea $$S_2$$
y ai aplico Gauss

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Hola

...
¿La divergencia te da cero? no me parece que la divergencia del campo dado sea cero.

La divergencia sí da $$0$$

Ah es verdad, qué oxidado estoy recordaba mal la divergencia, la recordaba similar al gradiente como un vector.

Entonces significa que el flujo del campo en todo el sólido dado es nulo. No habría nada qué calcular.

Saludos

¡Ah, vale! Ahora me has recordado la idea. Sí, la integral de la que el enunciado quiere el valor es la opuesta de una integral que puedes calcular con más facilidad.

Pero creo que faltaría multiplicar por el jacobiano, de manera que la integral de superficie de la tapadera quedaría (con la normal hacia abajo):

$$\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\int_0^3-r^4cos^2\theta\, dr d\theta=-\dfrac{243}{5}\pi$$

$$\displaystyle\iint_S F\cdot d\mathbf{S}=\dfrac{243}{5}\pi$$  (a falta de revisión)

25 Noviembre, 2020, 08:13 pm
Respuesta #6

ingmarov

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...

¡Ah, vale! Ahora me has recordado la idea. Sí, la integral de la que el enunciado quiere el valor es la opuesta de una integral que puedes calcular con más facilidad.

Pero creo que faltaría multiplicar por el jacobiano, de manera que la integral de superficie de la tapadera quedaría (con la normal hacia abajo):

$$\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\int_0^3-{\bf\color{red}r^4}cos^2\theta\, dr d\theta$$

...

Entiendo que has calculado, usando coordenadas cilíndricas, el flujo del campo a través de la cara en la base del sólido.

El diferencial de área para esa cara es    \[ r\, dr\, d\theta \]

Y dado que el vector unitario normal a esa cara es n=(0,0,-1)   por lo que \[ \vec{F}\cdot\vec{n}=x^2 \]   que en coordenadas cilíndricas es igual a \[ r^2cos^2(\theta) \]

Entonces la integral queda  $$\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\int_0^3-{\bf\color{red}r^3}cos^2\theta\, dr d\theta$$  Había dejado la respuesta, la acabo de borrar.

¿O me equivoco?

Y el resultado con el signo cambiado sería el flujo en el resto de caras del sólido. Esa parte del problema publicado por weimar no la veo.

Saludos
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25 Noviembre, 2020, 09:16 pm
Respuesta #7

weimar

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Haber señores, pensando aqui, la superficie $$S$$ la tendria que cerrar con la tapa de abajo en el plano $$z=0$$ siendo asi tendria

$$ \iint_{S}F.ndS+\iint_{S_1}F.n_1 dS=\iiint_{W}div(F)dW=0 $$ luego tenemos que : $$\iint_{S}F.ndS=\frac{81\pi}{4}$$
 y seria la respuesta  ;)

25 Noviembre, 2020, 09:57 pm
Respuesta #8

Bobby Fischer

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Sí ingmarov, me había equivocado. Mi fallo estaba en este razonamiento:

$$d\mathbf{S}=\mathbf{n}\, dxdy=\mathbf{n}\,rdrd\theta$$

Aquí los $$\mathbf{n}$$ son una reparametrización de una misma cosa.
El problema está en que yo el segundo $$\mathbf{n}$$ lo estaba volviendo a calcular sin tener en cuenta que debe ser una reparametrización del primero.

(¿Fallo de principiante?) Parece evidente pero puede llevar a engaño.


weimar, siento haber hecho una revisión aparentemente innecesaria, si tú con esto no tenías dudas.

25 Noviembre, 2020, 10:01 pm
Respuesta #9

ingmarov

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weimar, siento haber hecho una revisión aparentemente innecesaria, si tú con esto no tenías dudas.

No me pareció innecesaria, por mi parte interviene cuándo quieras, y de nuevo gracias por tu ayuda.


...
$$S_1: z=0, x^2+y^2 \leq 9 \longrightarrow{  \varphi(r\cos \theta, r\sin \theta, 0)}  $$  la normal pedida sale $$(0,0,-r)$$
luego $$\iint_{S_1}F.n_1 dS= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3}-r^3 \cos ^2 \theta dr d\theta= -\frac{81 \pi}{4}$$
...

Estaba bien tu razonamiento.

Saludos compañeros.
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