Autor Tema: Párrafo del capítulo 8 de "El camino a la realidad" de Penrose

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25 Noviembre, 2020, 09:35 pm
Respuesta #10

Restituto

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Añadido: Ah bueno, se me ocurre que Penrose se puede referir a lo siguiente. La superfície de Riemann asociada al logaritmo es el recubridor universal de \( \Bbb C \setminus \{0\} \), que de hecho se puede identificar con \( \Bbb C \) y donde la proyección \( \pi:\Bbb C \to \Bbb C \setminus \{0\} \) es la aplicación exponencial \( \pi(z)=\exp(z) \). Entonces, como la superfície de Riemann asociada es \( \Bbb C \), la puedes completar a una esfera añadiendole un punto. Pero \( \pi \) no se puede extender de manera continua a una aplicación de la esfera de Riemann en \( \Bbb C \), así que la interpretación como superfície de Riemann de una función se pierde.

Abundando un poco más en esto y por ponerle un pero a Penrose si realmente sus descripciones iban dirigidas a legos como yo más que a matemáticos, diría que lo que señalas es la razón de que para trabajar con \( log(z) \)  haya que fijar de antemano una rama, generalmente la rama principal, ya que no hay de otra forma función continua en \( \Bbb C \setminus \{0\} \) por el problema con su función inversa exponencial.

Penrose no se mete en estas honduras en un libro de divulgación claro, pero creo que puede confundir(a mí me ha liado un poco al menos) su insistencia en que el dominio de \( log(z) \) se puede de alguna forma compactificar(cuando como dijiste es \( \mathbb{C} \) quien puede como recubridor universal de \( \Bbb C \setminus \{0\} \) y está implicada la problemática función exponencial) y en que es univaluada, lo son sus abiertos en su superficie de Riemann asociada pero no exactamente la función como tal, salvo especificando la rama principal de antemano y entonces se pierde la perspectiva como superficie de Riemann.

26 Noviembre, 2020, 10:00 am
Respuesta #11

geómetracat

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Son los problemas de pretender explicar conceptos matemáticos y físicos complicados de forma divulgativa. Como no puedes usar la precisión de un libro técnico, tienes que recurrir a explicaciones más o menos vagas y eso siempre lleva a confusiones. Más aún en un libro que se propone explicar una cantidad ingente de matemáticas y física complicada en relativamente pocas páginas.

Yo el libro ese me lo empecé a leer cuando empezaba la carrera y la verdad es que acabé con un lío importante sobre varias cosas.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

26 Noviembre, 2020, 10:32 am
Respuesta #12

Restituto

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Sí, desde luego se corre ese riesgo. La tarea que se propone es ingente, hay algunas cosas que en un libro de texto llevan cien páginas y que Penrose "resuelve" de un plumazo en 2, lo que obviamente puede llevar a grandes cacaos. Recuerdo que su explicación de los covectores me dio muchos dolores de cabeza y acabé no entendiendo lo que decía. También es verdad que él lo advierte en muchas ocasiones que su explicación no es técnica y suele dar bibliografía.
Pero para mí tiene una serie de ideas geniales que me enganchan y siempre hay algo interesante en sus páginas sobre casi cualquier parcela de la matemática o de la física. En concreto su pasión por todo lo relacionado con los complejos y en especial sus muchas aplicaciones en física (sobre todo en teorías gauge de campos) se me contagió y ya no pude dejarlo.

Además es uno de los pocos científicos que sabe tanta física como matemáticas y es muy crítico con el bajo nivel de consistencia matemática al que se han acostumbrado los físicos teóricos en sus teoremas y pruebas de física matemática.

27 Noviembre, 2020, 01:24 am
Respuesta #13

manooooh

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Hola

Mmm, no sé exactamente en qué estás pensando cuando dices que sale en límites de varias variables reales. ¿Puedes poner un ejemplo?

Ahora se me vino a la mente que lo que quería decir en realidad era una bola (o vecindad) \( B_r(a)=\{x\in\Bbb{R}^n\mid\operatorname{dist}(a,x)<r\} \).

Sobre la pregunta, en el contexto de este hilo (variable compleja) es muy importante considerar la orientación de la curva. No es lo mismo ir en sentido horario que en antihorario.

Vale, ¿o sea que en variable real no importa la orientación de la bola pero en el plano complejo sí que la orientación de la bola importa? ¿Por qué esa distinción? Me intriga.

Saludos

27 Noviembre, 2020, 06:25 am
Respuesta #14

geómetracat

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Son cosas distintas entonces. Una cosa es que uses bolas para definir los límites, eso se hace tanto en variable real como comoleja y no hay asuntos de orientación ahí.

Otra cosa es hacer prolongaciones analíticas de funciones de variable compleja. Ahí sí que importa la orientación en general. Pero es un fenómeno que solo se da en variable compleja, porque las funciones holomorfas son extraordinariamente rígidas y dado un camino hay una única manera de extenderlas siguiendo ese camino. En cambio en funciones de variable real (digamos diferenciables, o \( C^\infty \)) no hay nada parecido porque hay muchas formas distintas de extenderlas.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)