Autor Tema: Párrafo del capítulo 8 de "El camino a la realidad" de Penrose

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24 Noviembre, 2020, 08:49 pm
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Restituto

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En el capítulo dedicado a las superficies de Riemann y las aplicaciones complejas de este libro de Penrose lleno de auténticas gemas matemáticas y físicas hay un párrafo que me gustaría entender en términos quizás algo más formales y que dice más o menos así:

'Las funciones holomorfas no encajan bien en la ahora habitual noción de una “función”, que mapea de un dominio fijo a un espacio imagen definido. Como se ha visto  con la extensión analítica, una función holomorfa “tiene su propia opinión” y decide ella misma cuál debe ser su dominio, independientemente de la región del plano complejo que le hayamos asignado inicialmente. Mientras que podemos considerar el dominio de la función como dado por la superficie de Riemann asociada a la función, el dominio no está dado por adelantado, es la forma explícita de la función misma la que nos dice cuál superficie de Riemann es realmente el dominio.'

¿En qué sentido decide una función compleja a la que se pide holomorfidad su dominio respecto a las funciones reales diferenciables y analíticas? ¿Cómo puede evitar una función holomorfa o la superficie de Riemann asociada a ella que le asignemos un dominio fijo por adelantado como sí parece que podemos dar por hecho en análisis real?

Sé que esto está relacionado con la rigidez y unicidad holomorfa pero ¿hay alguna diferencia con las funciones analíticas reales, por ejemplo, que no veo que sean menos rígidas que las holomorfas? (aunque el que no haya la noción de prolongación analítica en el sentido complejo ya es una distinción importante).

24 Noviembre, 2020, 10:16 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Sobre esto se habló hace poco en este hilo. Mira especialmente mi respuesta a Pie donde explico más o menos la situación con la raíz cuadrada.

La idea es que cuando tomas una curva cerrada en el plano complejo y haces la extensión analítica a lo largo de la curva, puede que al llegar al punto original el valor de la función sea distinto al inicial. Esto pasa por ejemplo con la raíz cuadrada si das una vuelta alrededor del origen, mientras que si das dos vueltas sí vuelves al valor original. Así pues, la propia función te está "diciendo" que su dominio natural no es \( \Bbb C \), sino una superfície de Riemann de dos hojas. Fíjate que la función \( z \mapsto \sqrt{z} \) no es holomorfa en el \( 0 \), y precisamente el problema de la multivaluación aparece al dar una vuelta alrededor del \( 0 \), pero no de otros puntos. Este fenómeno más en general se llama "monodromía".

La diferencia con las funciones analíticas reales es topológica: en \( \Bbb R \) no hay suficiente espacio para que se dé este fenómeno. No puedes "rodear" puntos donde la función no sea analítica, como en el caso de la raíz cuadrada. Además, si quieres hacer un camino cerrado la única manera es volver por donde has vuelto. En términos más técnicos, \( \Bbb C\setminus \{0\} \) tiene espacios recubridores conexos no triviales, mientras que \( \Bbb R \) (o \( \Bbb R \setminus \{0\} \)) no.

La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

25 Noviembre, 2020, 09:14 am
Respuesta #2

Restituto

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Gracias por explicarlo tan claro. Creo que este caso más habitual de paso de multivaluación a univaluación mediante desdoblamiento en hojas de una superficie de Riemann cuando hay un punto rama singular en el origen lo entiendo. Me preguntaba también por el caso más general con diferentes disposiciones de más de un punto rama que no den lugar a una superficie de Riemann en el mismo sentido de hojas de la raíz n-sima o el logaritmo complejo, etc al ser los contornos diferentes.

25 Noviembre, 2020, 09:47 am
Respuesta #3

geómetracat

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El caso general es lo mismo pero con varios puntos. Tienes un conjunto finito de puntos \( B=\{p_1,p_2,\dots p_n\} \) y una función holomorfa en \( \Bbb C \setminus B \), de manera que al hacer prolongación analítica en un circulito que encierre uno de los puntos (pero no los demás) te cambia el valor de la función. La diferencia es que es más difícil de visualizar y de imaginar, pero conceptualmente es lo mismo.

Por poner un ejemplo un poquito más complicado que la raíz cuadrada, la función \( z\mapsto \sqrt{z(z-1)} \) tiene dos puntos de ramificación: \( z=0 \) y \( z=1 \). Si sigues un circulito alrededor de cualquiera de esos dos puntos (pero que no contenga al otro) la raíz te cambia de signo. Si das la vuelta a un círculo que encierra ambos puntos, te quedas igual porque cada uno de los dos factores cambia de signo. Si das la vuelta a un círculo que no encierra ninguno de los dos puntos también te quedas igual.
Puedes construir de igual manera una superfície de Riemann como dominio para esta función. Aquí la idea sería cortar por el intervalo \( [0,1] \) y pegar dos copias de \( \Bbb C \) por ese intervalo, de manera que cada una se conecte con la otra (espero que se entienda, es un poco difícil de describir en palabras).

Pero más en general puedes asociar una superfície de Riemann a cualquier función holomorfa. La idea es considerar en cada punto un abierto del dominio correspondiente a cada posible valor de la función, donde la función sea holomorfa (por ejemplo, para la raíz cuadrada en \( \Bbb C \setminus \{0\} \) en cada punto tienes dos posibles valores, así que a cada punto le puedes asociar un par de discos disjuntos). Y una vez tienes todos estos abiertos disjuntos donde la función es holomorfa, la prolongación analítica te da los cambios de carta (es decir, como pegar los abiertos entre sí). Estos datos (conjunto de abiertos e información de cómo pegarlos) te da una superfície de Riemann (es decir, una superfície topológica junto con un atlas complejo).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

25 Noviembre, 2020, 12:32 pm
Respuesta #4

Restituto

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A ver si te sigo. Esto que me explicas es válido para puntos de ramificación algebraicos, ¿no? Es posible que no lo haya entendido muy allá donde lo he leído pero tenía la impresión de que en los trascendentales y más en concreto los logarítmicos con grupo de monodromía infinito y singularidad esencial no sería factible el mismo tipo de ramificación y superficie de Riemann global  para los puntos rama ya que no podrían continuarse a la singularidad esencial.
Creo que entonces la función univaluada se obtiene no tan limpiamente quitando un corte(branch cut) arbitrario.

P.D.: Penrose habla de que también es posible compactificar la "rampa espiral" que forma la función logaritmo a una esfera de Riemann rellenando los puntos singulares(aunque a la vez indica de manera algo confusa que esto sólo está garantizado con puntos rama de orden finito mientras que en el logaritmo es de orden infinito), pero esto no lo he encontrado en otros sitios desarrollado. Y supongo que estará limitado a aquellas funciones que admitan tal dominio.

25 Noviembre, 2020, 01:39 pm
Respuesta #5

geómetracat

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Vaya por delante que muy ducho tampoco estoy con estas cosas, así que espero no decir ninguna tontería.

En realidad yo estaba hablando de cualquier función (con puntos de ramificación ya sean algebraicos o trascendentes), pero quitando sus puntos de ramificación. Ahí no hay problema: obtienes una superfície de Riemann (no compacta) que es un recubridor de \( \Bbb C \setminus B \) donde \( B \) son los puntos de ramificación. Si es algebraica el recubridor tendrá un número finito de hojas, mientras que si es trascendente puede tener un número infinito (como el logaritmo), pero eso es todo.

Otro tema es el de completar las superfícies de Riemann obtenidas a los puntos de ramificación. Si son algebraicos lo puedes hacer y obtienes una superfície de Riemann compacta (para que sea compacta hay que incluir el infinito, de manera que tienes que pensar las funciones no en \( \Bbb C \) sino en la esfera de Riemann). Si son trascendentes, en principio no se puede hacer. Lo cierto es que no sé muy bien a qué se refiere Penrose.

Añadido: Ah bueno, se me ocurre que Penrose se puede referir a lo siguiente. La superfície de Riemann asociada al logaritmo es el recubridor universal de \( \Bbb C \setminus \{0\} \), que de hecho se puede identificar con \( \Bbb C \) y donde la proyección \( \pi:\Bbb C \to \Bbb C \setminus \{0\} \) es la aplicación exponencial \( \pi(z)=\exp(z) \). Entonces, como la superfície de Riemann asociada es \( \Bbb C \), la puedes completar a una esfera añadiendole un punto. Pero \( \pi \) no se puede extender de manera continua a una aplicación de la esfera de Riemann en \( \Bbb C \), así que la interpretación como superfície de Riemann de una función se pierde.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

25 Noviembre, 2020, 03:29 pm
Respuesta #6

manooooh

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Hola geómetracat

El caso general es lo mismo pero con varios puntos. Tienes un conjunto finito de puntos \( B=\{p_1,p_2,\dots p_n\} \) y una función holomorfa en \( \Bbb C \setminus B \), de manera que al hacer prolongación analítica en un circulito que encierre uno de los puntos (pero no los demás) te cambia el valor de la función. La diferencia es que es más difícil de visualizar y de imaginar, pero conceptualmente es lo mismo.

Por poner un ejemplo un poquito más complicado que la raíz cuadrada, la función \( z\mapsto \sqrt{z(z-1)} \) tiene dos puntos de ramificación: \( z=0 \) y \( z=1 \). Si sigues un circulito alrededor de cualquiera de esos dos puntos (pero que no contenga al otro) la raíz te cambia de signo. Si das la vuelta a un círculo que encierra ambos puntos, te quedas igual porque cada uno de los dos factores cambia de signo. Si das la vuelta a un círculo que no encierra ninguno de los dos puntos también te quedas igual.
Puedes construir de igual manera una superfície de Riemann como dominio para esta función. Aquí la idea sería cortar por el intervalo \( [0,1] \) y pegar dos copias de \( \Bbb C \) por ese intervalo, de manera que cada una se conecte con la otra (espero que se entienda, es un poco difícil de describir en palabras).

Me intriga saber un poco más sobre la idea de "dibujar un circulito alrededor de un punto" ya que aparece en Cálculo 2 (límites de varias variables reales) y al parecer en el plano complejo. ¿Es indistinto considerar la orientación de dicha curva cerrada?

Gracias y saludos

25 Noviembre, 2020, 03:51 pm
Respuesta #7

geómetracat

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Me intriga saber un poco más sobre la idea de "dibujar un circulito alrededor de un punto" ya que aparece en Cálculo 2 (límites de varias variables reales) y al parecer en el plano complejo. ¿Es indistinto considerar la orientación de dicha curva cerrada?

Mmm, no sé exactamente en qué estás pensando cuando dices que sale en límites de varias variables reales. ¿Puedes poner un ejemplo?

Sobre la pregunta, en el contexto de este hilo (variable compleja) es muy importante considerar la orientación de la curva. No es lo mismo ir en sentido horario que en antihorario.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

25 Noviembre, 2020, 05:47 pm
Respuesta #8

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En realidad yo estaba hablando de cualquier función (con puntos de ramificación ya sean algebraicos o trascendentes), pero quitando sus puntos de ramificación. Ahí no hay problema: obtienes una superfície de Riemann (no compacta) que es un recubridor de \( \Bbb C \setminus B \) donde \( B \) son los puntos de ramificación. Si es algebraica el recubridor tendrá un número finito de hojas, mientras que si es trascendente puede tener un número infinito (como el logaritmo), pero eso es todo.
Vale, ahora creo que lo pillo, tú te referías a las posibles superficies de Riemann no compactas cuando no se considera "rellenar" los puntos singulares de ramificación ni mirar si la monodromía no trivial va acompañada de singularidades esenciales. No hace falta la distinción entre puntos rama algebraicos o trascendentes en ese caso.
Sin embargo para la univaluación sin saltos(sin tener que sumar o restar \( 2\pi i \) en cada hoja no pudiendo volver nunca a la hoja original como pasa en el logaritmo), que es en lo que yo pensaba, se consideran solo los puntos algebraicos que pueden dar superficies de Riemann compactas.

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Otro tema es el de completar las superfícies de Riemann obtenidas a los puntos de ramificación. Si son algebraicos lo puedes hacer y obtienes una superfície de Riemann compacta (para que sea compacta hay que incluir el infinito, de manera que tienes que pensar las funciones no en \( \Bbb C \) sino en la esfera de Riemann). Si son trascendentes, en principio no se puede hacer. Lo cierto es que no sé muy bien a qué se refiere Penrose.

Añadido: Ah bueno, se me ocurre que Penrose se puede referir a lo siguiente. La superfície de Riemann asociada al logaritmo es el recubridor universal de \( \Bbb C \setminus \{0\} \), que de hecho se puede identificar con \( \Bbb C \) y donde la proyección \( \pi:\Bbb C \to \Bbb C \setminus \{0\} \) es la aplicación exponencial \( \pi(z)=\exp(z) \). Entonces, como la superfície de Riemann asociada es \( \Bbb C \), la puedes completar a una esfera añadiendole un punto. Pero \( \pi \) no se puede extender de manera continua a una aplicación de la esfera de Riemann en \( \Bbb C \), así que la interpretación como superfície de Riemann de una función se pierde.
Exacto.

25 Noviembre, 2020, 05:53 pm
Respuesta #9

geómetracat

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Vale, ahora creo que lo pillo, tú te referías a las posibles superficies de Riemann no compactas cuando no se considera "rellenar" los puntos singulares de ramificación ni mirar si la monodromía no trivial va acompañada de singularidades esenciales. No hace falta la distinción entre puntos rama algebraicos o trascendentes en ese caso.
Sin embargo para la univaluación sin saltos(sin tener que sumar o restar \( 2\pi i \) en cada hoja no pudiendo volver nunca a la hoja original como pasa en el logaritmo), que es en lo que yo pensaba, se consideran solo los puntos algebraicos que pueden dar superficies de Riemann compactas.

Eso es, a eso me refería.
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