Autor Tema: Inverso de un número complejo

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22 Noviembre, 2020, 03:21 pm
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Marcos Castillo

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¡Hola forer@s!
De nuevo me encuentro con un razonamiento que no sigo. Si empleo coordenadas polares, es terriblemente sencillo, pero el libro tiene una dificultad enorme. Sin embargo quiero entenderlo. Lo escribo primero y luego las dudas:
"El inverso de un número complejo distinto de cero \( w=a+bi \) se puede calcular multiplicando el numerador y el denominador de la expresión por el conjugado de \( w \);
\( w^{-1}=\dfrac{1}{w}=\dfrac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}=\dfrac{a-bi}{a^2+b^2}=\dfrac{\overline{w}}{|w|^2} \)
Como \( |\overline{w}|=|w| \) y \( \mbox{arg}(\overline{w})=-\mbox{arg}(w) \), tenemos
\( \left |{\dfrac{1}{w}}\right |=\dfrac{|\overline{w}|}{|w|^2}=\dfrac{1}{|w|} \) y \( \mbox{arg}\left(\dfrac{1}{w}\right)=-\mbox{arg}(w) \)"
La duda es:¿el inverso de un complejo es igual a su conjugado?. No. Hay que dividirlo por el cuadrado de su módulo, ¿no?. No entiendo de otra forma que \( \mbox{arg}\left(\dfrac{1}{w}\right)=-\mbox{arg}(w) \).
Un saludo
No man is an island (John Donne)

22 Noviembre, 2020, 04:00 pm
Respuesta #1

ingmarov

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Hola Marcos

...
La duda es:¿el inverso de un complejo es igual a su conjugado?. No. Hay que dividirlo por el cuadrado de su módulo, ¿no?

Así es, el inverso de un número complejo no es su conjugado, eso solo pasa si este número tiene módulo 1.

No entiendo de otra forma que \( \mbox{arg}\left(\dfrac{1}{w}\right)=-\mbox{arg}(w) \).
Un saludo

Si graficas, en el plano complejo, el número complejo w=a+bi y a su conjugado. verás fácilmente la relación entre sus ángulos. Luego revisa lo que pasa con el argumento del inverso de w en esta fórmula

\[ w^{-1}=\dfrac{\bar{w}}{|w|^2}=\dfrac{1}{|w|^2}\cdot \bar{w} \]

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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23 Noviembre, 2020, 04:34 am
Respuesta #2

Marcos Castillo

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\( \mbox{arg}(w)=\left\{{\mbox{Arg}(w)+2k\pi;k\in{\mathbb{Z}}}\right\} \)
\( \mbox{arg}(\overline{w})=\left\{{\mbox{Arg}(\overline{w})+2k\pi;k\in{\mathbb{Z}}}\right\} \)
\( \mbox{Arg}(\overline{w})=-\mbox{Arg}(w)\Rightarrow{\mbox{arg}(\overline{w})=-\mbox{arg}(w)} \)
\( \mbox{arg}(w^{-1})=\mbox{arg}\left({\dfrac{1}{|w|^2}\overline{w}}\right)=\mbox{arg}\left({\dfrac{\overline{w}}{w\overline{w}}}\right)=\mbox{arg}\left({\dfrac{1}{w}}\right) \)
\( \mbox{arg}(w^{-1})=...=-\mbox{arg}(w) \)
Vamos, que nada. No he hecho nada. ingmarov, forer@s, no deseo la solución, sino más pistas.
¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

23 Noviembre, 2020, 05:19 am
Respuesta #3

ingmarov

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Hola

...
Vamos, que nada. No he hecho nada. ingmarov, forer@s, no deseo la solución, sino más pistas.
...

No entiendo qué quieres. Mejor te dejo en otras manos.

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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23 Noviembre, 2020, 09:17 am
Respuesta #4

Marcos Castillo

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No man is an island (John Donne)

23 Noviembre, 2020, 10:20 am
Respuesta #5

Marcos Castillo

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Pongo un ejemplo, y luego la duda, a ver si me aclaro:
\( \dfrac{1}{1+i}=\dfrac{1}{1+i}\cdot{\dfrac{1-i}{1-i}}=\dfrac{1-i}{1-(-1)}=\dfrac{1-i}{1+1}=\dfrac{1-i}{2}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}i \)
Pero no conecto esto con \( \mbox{arg}\left(\dfrac{1}{w}\right)=-\mbox{arg}(w) \)
Un saludo
No man is an island (John Donne)

23 Noviembre, 2020, 11:10 am
Respuesta #6

feriva

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Pongo un ejemplo, y luego la duda, a ver si me aclaro:
\( \dfrac{1}{1+i}=\dfrac{1}{1+i}\cdot{\dfrac{1-i}{1-i}}=\dfrac{1-i}{1-(-1)}=\dfrac{1-i}{1+1}=\dfrac{1-i}{2}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}i \)
Pero no conecto esto con \( \mbox{arg}\left(\dfrac{1}{w}\right)=-\mbox{arg}(w) \)
Un saludo

Hola, Marcos.

Pero ahí ya lo tienes, ¿no?

Yo no uso complejos hace mucho, pero entiendo esto

\( 1+i\Rightarrow tg(\alpha)=\dfrac{1}{1}=1
  \)

\( \dfrac{1}{1+i}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}i\Rightarrow tg(\alpha)=-\dfrac{1/2}{1/2}=-1
  \)

Claro, el ángulo es el opuesto respecto del eje “X”.

Saludos.

23 Noviembre, 2020, 02:30 pm
Respuesta #7

ingmarov

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Hola

Lo siento, ingmarov :-[
No ha pasado nada, solo me hago a un lado para no confundirte más.


Un nuevo intento

Pongo un ejemplo, y luego la duda, a ver si me aclaro:
\( \dfrac{1}{1+i}=\dfrac{1}{1+i}\cdot{\dfrac{1-i}{1-i}}=\dfrac{1-i}{1-(-1)}=\dfrac{1-i}{1+1}=\dfrac{1-i}{2}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}i \)
Pero no conecto esto con \( \mbox{arg}\left(\dfrac{1}{w}\right)=-\mbox{arg}(w) \)
Un saludo


Si, como te dije antes, graficamos este número (1,1) en particular y su conjugado,



Es fácil ver que la magnitud de sus ángulos es igual pero son de signo contrario. arg(Z')=-arg(Z), y esto pasa para cualquier número complejo.



Ahora ¿qué pasa si mutiplicamos a Z' por un número real positivo distinto de 1? pues que la distancia de este nuevo número al origen cambia, se incrementa o se reduce, pero su ángulo sigue siendo el mismo que el de \[ Z' \].

Y ¿Qué tienes aquí  \[ \dfrac{\overline{z}}{|z|^2} \]? Es la multiplicación de \[ \overline{z} \]  por el número real positivo \[ \dfrac{1}{|z|^2} \]

Saludos
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23 Noviembre, 2020, 07:12 pm
Respuesta #8

Marcos Castillo

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¡Muchísimas gracias, feriva, ingmarov!
¡Puff...!, estaba atascado. Ahora...Sigo adelante. La clave estaba en que, erróneamente, al multiplicar por un real el complejo pensaba que debía cambiar el argumento. Estaba mezclando módulo y argumento. Vamos, una liada.
¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)