Autor Tema: Productos de números complejos

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18 Noviembre, 2020, 03:10 pm
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Marcos Castillo

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Hola, feriva, Fernando, manooooh, Luis, forer@s
Primero cito el libro, y luego las dudas:
"Es particularmente sencillo determinar el producto de números complejos expresados en su forma polar. Si
\( w=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta}) \) y \( s(\cos{\phi}+i\sin{\phi}) \)
siendo \( r=|w| \), \( \theta=\mbox{arg}(w) \), \( s=|z| \) y \( \phi=\mbox{arg}(z) \), entonces
\( wz=rs(\cos{\theta}+i\sin{\theta})(\cos{\phi}+i\sin{\phi}) \)
\( =rs((\cos{\theta}\cos{\phi}-\sin{\theta}\sin{\phi})+i(\sin{\theta}\cos{\phi}+\cos{\theta}\sin{\phi})) \)
\( =rs(\cos{(\theta+\phi)}+i\sin{(\theta+\phi))} \)
Véase la Figura Adjunta. Como las fases sólo están determinadas hasta un múltiplo entero de \( 2\pi \), hemos demostrado que
Módulo y fase de un producto
\( |wz|=|w||z| \) y \( \mbox{arg}(wz)=\mbox{arg}(w)+\mbox{arg}(z) \)
La segunda de estas ecuaciones dice que el conjunto \( \mbox{arg}(wz) \) está formado por todos los números \( \theta+\phi \), donde \( \theta \) pertenece al conjunto \( \mbox{arg}(w) \) y \( \phi \) al conjunto \( \mbox{arg}(z) \)."
Las dudas: No entiendo la frase "Como las fases sólo están determinadas hasta un múltiplo entero de \( 2\pi \), hemos demostrado que
Módulo y fase de un producto
\( |wz|=|w||z| \) y \( \mbox{arg}(wz)=\mbox{arg}(w)+\mbox{arg}(z) \)"
¡Un saludo cordial!

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No man is an island (John Donne)

18 Noviembre, 2020, 05:53 pm
Respuesta #1

Marcos Castillo

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¿Puede ser \( wz=rs(\cos{2k\pi}+i\sin{2k\pi})(\cos{2k\pi}+i\sin{2k\pi}) \)
\( wz=rs(\pm{1}+i\cdot{0})(\pm{1}+i\cdot{0})\rightarrow{|wz|=|r||s|})) \)?. Estoy divagando, pero igual ando cerca. En cuanto al argumento: \( \arctan{wz}=\arctan{w}+\arctan{z} \). De esto último no estoy para nada convencido, pero el razonamiento sería: el arcotangente de la multiplicación es la multiplicación de los arcotangentes :(
No man is an island (John Donne)

18 Noviembre, 2020, 06:14 pm
Respuesta #2

ingmarov

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Hola

¿Puede ser \( wz=rs(\cos{2k\pi}+i\sin{2k\pi})(\cos{2k\pi}+i\sin{2k\pi}) \)
\( wz=rs(\pm{1}+i\cdot{0})(\pm{1}+i\cdot{0})\rightarrow{|wz|=|r||s|})) \)?. Estoy divagando, pero igual ando cerca.

No, esto no.



En cuanto al argumento: \( \arctan{wz}=\arctan{w}+\arctan{z} \). De esto último no estoy para nada convencido, pero el razonamiento sería: el arcotangente de la multiplicación es la multiplicación de los arcotangentes :(

Es la suma de los arcotangentes.

Con la forma exponencial de un número complejo es más fácil verlo,

Si \[ w=re^{i\theta} \]  y  \[ z=se^{i\phi} \]

...
siendo \( r=|w| \), \( \theta=\mbox{arg}(w) \), \( s=|z| \) y \( \phi=\mbox{arg}(z) \)
...


Entonces  \[ w\cdot z=(re^{i\theta})(se^{i\phi})=rs\; e^{i(\theta+\phi)}=\underbrace{rs}_{\textrm{módulo de wz}}e^{i\underbrace{\theta+\phi}_{\textrm{Algumento de wz}}} \]


Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

18 Noviembre, 2020, 07:42 pm
Respuesta #3

robinlambada

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Hola, complementando lo escrito por ingmarov.
Respecto a tu duda:

Las dudas: No entiendo la frase "Como las fases sólo están determinadas hasta un múltiplo entero de \( 2\pi \), hemos demostrado que
Módulo y fase de un producto
\( |wz|=|w||z| \) y \( \mbox{arg}(wz)=\mbox{arg}(w)+\mbox{arg}(z) \)"
¡Un saludo cordial!


Con esta frase lo que quiere decir es que como la fase  (argumento) no es única , podría ser que este hecho altere este resultado: \( |wz|=|w||z| \) y \( \mbox{arg}(wz)=\mbox{arg}(w)+\mbox{arg}(z) \)"

Para la fase si sustituyes \( \theta=\theta ' +2n\pi  \) y \( \phi=\phi  ' +2m\pi  \)

Quedaría:  \( \theta + \phi=\theta ' +2n\pi +\phi  ' +2m\pi=(\theta ' +\phi  ') +2(n+m)\pi  =(\theta ' +\phi  ') +2k\pi  \)

Por tanto esta peculiaridad de que sea  la fase multivaluada no afecta a la relación de suma de fases en el producto de complejos.

Y por otro lado si: \( w=r(\cos{\theta }+i\sin{\theta}) \) , \( |w|^2=r^2(\cos^2{\theta }+\sin^2{\theta})=r^2 \)  es decir:

El módulo de un complejo es independiente de su fase ( como es de esperar )
Por ello \( r(\cos{\theta }+i\sin{\theta}) \) y \( r(\cos{\theta +2n\pi  }+i\sin{\theta}+2n\pi ) \) tienen el mismo módulo "r".

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

19 Noviembre, 2020, 07:27 am
Respuesta #4

Marcos Castillo

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Ok, procesando...Os respondo en unos días.  :)
No man is an island (John Donne)

21 Noviembre, 2020, 03:58 pm
Respuesta #5

Marcos Castillo

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¡Hola, ingmarov, robinlambada!
Ya me ha costado. No sé si por el camino he roto alguna regla del foro, porque he publicado dos hilos con parecido objetivo. El otro es "Opinión y/o alternativas a un libro de texto de Análisis". Espero que no; he leído varias veces las reglas de comportamiento en los foros.
Bueno, debía haber respondido inmediatamente, porque las explicaciones eran sencillas, y no hacía falta más información, pero me faltaba una introducción a los números complejos, con la que he tropezado echando un vistazo a los libros que tenía en casa. En el archivo adjunto está la cita. Vamos, que lo tenía todo, toda la información, a mano.
Un saludo cordial...Y muchísimas gracias.
No man is an island (John Donne)

21 Noviembre, 2020, 04:45 pm
Respuesta #6

geómetracat

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En lo que respecta a reglas del foro, no creo que hayas roto ninguna.
Los dos hilos son bien diferentes: en uno preguntas una duda concreta y en el otro pides referencias sobre un tema.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

22 Noviembre, 2020, 07:51 am
Respuesta #7

Marcos Castillo

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¡Muchas gracias, geómetracat, frorer@s!
Un saludo cordial
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