Autor Tema: Existencia de logaritmo holomorfo

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

17 Noviembre, 2020, 06:25 pm
Leído 180 veces

smc

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 19
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Buenas tardes,
se me ha planteado el siguiente problema que no se resolver porqué creo que no acabo de entender bien el concepto de logaritmo en \( \mathbb{C} \):

Sea \( f \) una función holomorfa en un abierto \( \Omega \subset \mathbb{C} \) que satisface \( |f(z)-i|<1 \), para todo \( z \in \Omega \). Demostrad que \( f \) tiene logaritmo holomorfo en \( \Omega \).

Cualquier ayuda es bienvenida y gracias de antemano!!

17 Noviembre, 2020, 07:07 pm
Respuesta #1

Masacroso

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,583
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Buenas tardes,
se me ha planteado el siguiente problema que no se resolver porqué creo que no acabo de entender bien el concepto de logaritmo en \( \mathbb{C} \):

Sea \( f \) una función holomorfa en un abierto \( \Omega \subset \mathbb{C} \) que satisface \( |f(z)-i|<1 \), para todo \( z \in \Omega \). Demostrad que \( f \) tiene logaritmo holomorfo en \( \Omega  \).

Cualquier ayuda es bienvenida y gracias de antemano!!

Si \( |f(z)-i|<1 \) entonces \( f(z)-i\in \mathbb B (0,1) \) para todo \( z\in \Omega  \), lo que implica que \( {\color{red}{f(\Omega )}} \subset \mathbb B (i,1) \), y como el valor principal del logaritmo complejo es holomorfo en \( \mathbb C \setminus (-\infty ,0] \) entonces obviamente lo es en \( {\color{red}{f(\Omega )}}  \). Finalmente, de la regla de la cadena, se sigue que \( \ln\circ f \) es holomorfa.

Corregido.