Autor Tema: La función h : Z →Z con regla de asignación $$h(x) = (x − 2)^3-3$$ es biyectiva?

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17 Noviembre, 2020, 06:18 pm
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Slayer Tony

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Hola, estoy tratando de ver si $$h(x) = (x − 2)^3-3$$ es biyect, por lo que hay que demostrar si es inyectiva y supra. Mi duda principal es como afecta que trabajemos con los enteros.
Por ejemplo para demostrar la primera: Sea $$x_1$$ y $$x_2$$ $$\in{Z}$$ tal que $$h(x_1)=h(x_2)\Longrightarrow{}(x_1 − 2)^3-3=(x_2 − 2)^3-3$$ ¿Cómo afecta que trabajemos en Z?
Para la supra, ¿la imagen de h(x)=Z?
Sea $$x=\sqrt[3 ]{y+3}+2$$ entonces  h(x)= y ¿basta con ésto para decir que es supra?
Espero me puedan ayudar. Saludos

17 Noviembre, 2020, 06:41 pm
Respuesta #1

Fernando Revilla

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Hola, estoy tratando de ver si $$h(x) = (x − 2)^3-3$$ es biyect, por lo que hay que demostrar si es inyectiva y supra. Mi duda principal es como afecta que trabajemos con los enteros.
Por ejemplo para demostrar la primera: Sea $$x_1$$ y $$x_2$$ $$\in{Z}$$ tal que $$h(x_1)=h(x_2)\Longrightarrow{}(x_1 − 2)^3-3=(x_2 − 2)^3-3$$ ¿Cómo afecta que trabajemos en Z?

Usa exclusivamente propiedades de los enteros:
          \( h(x_1)=h(x_2)\Rightarrow{}(x_1 − 2)^3-3=(x_2 − 2)^3-3\Rightarrow (x_1 − 2)^3=(x_2 − 2)^3\\\Rightarrow \sqrt[ 3]{(x_1 − 2)^3}=\sqrt[ 3]{(x_2 − 2)^3}\underbrace{\Rightarrow{}}_{\text{la raíz cub. es única}}x_1-2=x_2-2\Rightarrow{x_1=x_2}. \)
Para la supra, ¿la imagen de h(x)=Z? Sea $$x=\sqrt[3 ]{y+3}+2$$ entonces  h(x)= y ¿basta con ésto para decir que es supra?

No, para todo \( y \) entero, tendrías que demostar que \( x=\sqrt[3 ]{y+3}+2 \) es entero, cosa que no siempre ocurre. Elige por ejemplo \( y=0 \).

17 Noviembre, 2020, 07:17 pm
Respuesta #2

Slayer Tony

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Gracias por responder, entonces no es biyectiva. ¿Eso significa que no tiene función inversa cierto?

17 Noviembre, 2020, 07:26 pm
Respuesta #3

Fernando Revilla

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