Autor Tema: Desigualdad triangular

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16 Noviembre, 2020, 12:57 pm
Respuesta #10

Fernando Revilla

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Fernando, estos son los pasos que no entiendo: \( z_1\overline{z_2}+\overline{z_1\overline{z_2}}=2\Re(z_1\overline{z_2})=2|z_1||z_2| \)

Ese último \( = \) que has puesto es \( \le \). Si \( z=x+iy \), entonces \( z+\overline{z}=x+iy+x-iy=2x=2\Re z \). Por tanto, \( z_1\overline{z_2}+\overline{z_1\overline{z_2}}=2\Re(z_1\overline{z_2}) \).

Por otra parte, si \( z_1=x_1+iy_1 \), \( z_2=x_2+iy_2 \) entonces, \( z_1\overline{z_2}=(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)=x_1x_2+y_1y_2+i(x_2y_1-x_1y_2) \).

Es decir \( \Re (z_1\overline{z_2})=x_1x_2+y_1y_2 \) y por la desigualdad de Schwarz, \( \Re (z_1\overline{z_2})\le \sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}=|z_1||z_2| \).

16 Noviembre, 2020, 06:46 pm
Respuesta #11

Marcos Castillo

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Fernando, estos son los pasos que no entiendo: \( z_1\overline{z_2}+\overline{z_1\overline{z_2}}=2\Re(z_1\overline{z_2})=2|z_1||z_2| \)

Ese último \( = \) que has puesto es \( \le \). Si \( z=x+iy \), entonces \( z+\overline{z}=x+iy+x-iy=2x=2\Re z \). Por tanto, \( z_1\overline{z_2}+\overline{z_1\overline{z_2}}=2\Re(z_1\overline{z_2}) \).

Por otra parte, si \( z_1=x_1+iy_1 \), \( z_2=x_2+iy_2 \) entonces, \( z_1\overline{z_2}=(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)=x_1x_2+y_1y_2+i(x_2y_1-x_1y_2) \).

Es decir \( \Re (z_1\overline{z_2})=x_1x_2+y_1y_2 \) y por la desigualdad de Schwarz, \( \Re (z_1\overline{z_2})\le \sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}=|z_1||z_2| \).

¡Perfecto, feriva, Fernando!

\( z_1\overline{z_2}+\overline{z_1\overline{z_2}}=2\Re(z_1\overline{z_2})\leq{2|z_1||z_2|} \)

¡feriva, muchas gracias por el enlace a la desigualdad de Schwarz!
¡Fernando, un merecidísimo agradecimiento!
No entendía que la suma de un complejo más su conjugado es un número real. En este caso, \( z_1\overline{z_2}+\overline{z_1\overline{z_2}}=2\Re(z_1\overline{z_2}) \);
y básicamente no entendía que \( \Re (z_1\overline{z_2})=x_1x_2+y_1y_2 \); más aún, no sabía aplicar la desigualdad de Schwarz:\( \Re (z_1\overline{z_2})\le \sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}=|z_1||z_2| \)
Repasando todo, sólo me quedaba algo por entender, que da la medida de lo principiante que soy: \( z_2\overline{z_1}=\overline{z_1\overline{z_2}} \). Pero lo entiendo. Creo que he entendido la demostración algebraica de la desigualdad triangular :)
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