Autor Tema: Desigualdad triangular

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15 Noviembre, 2020, 11:55 am
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Marcos Castillo

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Hola, qué tal
La desigualdad triangular es \( |w_1\pm{w_2}|\leq{|w_1|+|w_2|} \); es la misma para números complejos, como los que yo expongo, y para números reales, así que es muy intuitivo entenderlo. Pero el texto que tengo va más allá, y afirma: "Nótese que \( |w_1-w_2| \)
 es la distancia entre los \( w_1 \) y los \( w_2 \) en el plano complejo. Por tanto la desigualdad del triángulo dice que en el triángulo cuyos vértices son \( w_1 \), \( \pm{w_2} \) y 0, la longitud de un lado es menor que la suma de las longitudes de los otros dos."
La duda es: ¿Por qué  la longitud de un lado es menor que la suma de las longitudes de los otros dos?. Lo veo muy claro en el archivo adjunto, pero el razonamiento del libro ( "Nótese que \( |w_1-w_2| \)
 es la distancia entre los \( w_1 \) y los \( w_2 \) en el plano complejo (...) la longitud de un lado es menor que la suma de las longitudes de los otros dos.") no lo entiendo. Adjunto archivo
Un saludo cordial a todas y todos
No man is an island (John Donne)

15 Noviembre, 2020, 01:29 pm
Respuesta #1

sugata

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Ese dibujo tiene muchos vectores.
Se ve mejor con 2.
Sumamos haciendo paralelogramo, donde los lados son iguales 2 a 2. Por lo que CD=W1

15 Noviembre, 2020, 05:38 pm
Respuesta #2

Marcos Castillo

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¡Muchas gracias, sugata! Has solucionado la duda con una claridad meridiana, simplificando. Simplificar el juego de palabras que esconde una verdad cristalina. La desigualdad del triángulo se percibe con tu ejemplo con tanta rapidez que me asombra la complejidad de exponerlo en el libro. Pero con tu ayuda he entendido también lo que dice el libro. Aplausos! :)
No man is an island (John Donne)

15 Noviembre, 2020, 06:11 pm
Respuesta #3

Fernando Revilla

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La demostración formal sin apelar a la geometría sería:

        \[ \begin{aligned}|z_1+z_2|^2& =(z_1+z_2)(\overline{z_1+z_2})= (z_1 +z_2)(\overline{z_1}+\overline{z_2})\\
&= z_1\overline{z_1}+z_1\overline{z_2}+\overline{z_1\overline{z_2}}+z_2\overline{z_2}\\
&=|z_1|^2 + 2\Re(z_1\overline{z_2})+|z_2|^2\\
& \le |z_1|^2+2|z_1||z_2|+|z_2|^2\quad \text{(Por la desig. de Schwarz).}\\
& =(|z_1|+|z_2|)^2\\
&\Rightarrow |z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|.\end{aligned} \]

Y llamando \[ w_1=z_1 \], \[ -w_2=z_2 \] queda

        \[ \begin{aligned}
&|w_1-w_2|\le |w_1|+|-w_2|=|w_1|+|w_2|.\end{aligned} \]

15 Noviembre, 2020, 07:44 pm
Respuesta #4

Marcos Castillo

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La demostración formal sin apelar a la geometría sería:

        \[ \begin{aligned}|z_1+z_2|^2& =(z_1+z_2)(\overline{z_1+z_2})= (z_1 +z_2)(\overline{z_1}+\overline{z_2})\\
&= z_1\overline{z_1}+z_1\overline{z_2}+\overline{z_1\overline{z_2}}+z_2\overline{z_2}\\
&=|z_1|^2 + 2\Re(z_1\overline{z_2})+|z_2|^2\\
& \le |z_1|^2+2|z_1||z_2|+|z_2|^2\quad \text{(Por la desig. de Schwarz).}\\
& =(|z_1|+|z_2|)^2\\
&\Rightarrow |z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|.\end{aligned} \]

Y llamando \[ w_1=z_1 \], \[ -w_2=z_2 \] queda

        \[ \begin{aligned}
&|w_1-w_2|\le |w_1|+|-w_2|=|w_1|+|w_2|.\end{aligned} \]
¡Hola Fernando! ¿Qué quiere decir \( |z_1|^2 + 2\Re(z_1\overline{z_2})+|z_2|^2 \)?
Me refiero a \( 2\Re \)
¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

15 Noviembre, 2020, 08:31 pm
Respuesta #5

Fernando Revilla

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¡Hola Fernando! ¿Qué quiere decir \( |z_1|^2 + 2\Re(z_1\overline{z_2})+|z_2|^2 \)?
Me refiero a \( 2\Re \)
¡Un saludo!

La expresión \( \Re z \) indica "parte real de \( z \) e \( \Im z \) la "parte imaginaria" de \( z \).

16 Noviembre, 2020, 09:28 am
Respuesta #6

Marcos Castillo

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        \[ \begin{aligned}|z_1+z_2|^2& =(z_1+z_2)(\overline{z_1+z_2})= (z_1 +z_2)(\overline{z_1}+\overline{z_2})\\
&= z_1\overline{z_1}+z_1\overline{z_2}+\overline{z_1\overline{z_2}}+z_2\overline{z_2}\\
&=|z_1|^2 + 2\Re(z_1\overline{z_2})+|z_2|^2\\
& \le |z_1|^2+2|z_1||z_2|+|z_2|^2\quad \text{(Por la desig. de Schwarz).}\\
& =(|z_1|+|z_2|)^2\\
&\Rightarrow |z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|.\end{aligned} \]

Y llamando \[ w_1=z_1 \], \[ -w_2=z_2 \] queda

        \[ \begin{aligned}
&|w_1-w_2|\le |w_1|+|-w_2|=|w_1|+|w_2|.\end{aligned} \]
Hola, Fernando, no tengo ningún problema en entender la desigualdad de Schwarz, pero, ¿podrías explicarme los pasos más detalladamente?. He estado leyendo las  propiedades de la conjugación de de los números complejos, pero no me apaño con esta demostración formal.
¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

16 Noviembre, 2020, 09:56 am
Respuesta #7

feriva

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Hola, Marcos, cuánto tiempo.

Aquí tengo una explicación de la de Schwarz (hay otras que a lo mejor las entiendes más fácilmente en el mismo hilo)

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=37303.msg150016#msg150016

Saludos.

16 Noviembre, 2020, 09:59 am
Respuesta #8

Fernando Revilla

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Hola, Fernando, no tengo ningún problema en entender la desigualdad de Schwarz, pero, ¿podrías explicarme los pasos más detalladamente?. He estado leyendo las  propiedades de la conjugación de de los números complejos, pero no me apaño con esta demostración formal.
¡Un saludo!

Sin problema, ahora bien, creo que sería más operativo que me indicaras exactamente el paso o pasos que no entiendes.

16 Noviembre, 2020, 12:16 pm
Respuesta #9

Marcos Castillo

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¡Hola feriva, aquí seguimos!
Fernando, estos son los pasos que no entiendo:
\( z_1\overline{z_2}+\overline{z_1\overline{z_2}}=2\Re(z_1\overline{z_2})=2|z_1||z_2| \)
Gracias, un saludo cordial
No man is an island (John Donne)