Autor Tema: Desarrollos de Laurent

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13 Noviembre, 2020, 07:14 pm
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tamlar

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Tengo que hacer el desarrollo de Laurent en la corona circular \( |z+2|>2 \), alguien sabe como puedo hacer que la fracción \( \frac{1}{z+2} \) sea de la forma \( \frac{1}{1-w} \) siendo \( w=z+2 \). Lo he intentado mil veces y siempre vuelvo a la fracción original, gracias :)

13 Noviembre, 2020, 07:30 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Tengo que hacer el desarrollo de Laurent en la corona circular \( |z+2|>2 \), alguien sabe como puedo hacer que la fracción \( \frac{1}{z+2} \) sea de la forma \( \frac{1}{1-w} \) siendo \( w=z+2 \). Lo he intentado mil veces y siempre vuelvo a la fracción original, gracias :)

¿Algo así? \( z+2=z+2+1-1=(z+3)-1 \)

13 Noviembre, 2020, 09:08 pm
Respuesta #2

ingmarov

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Hola

Es que la serie de Laurent de \[ f(z)=\dfrac{1}{z+2} \]  centrada en z=-2 es la misma función. No hay nada qué calcular.

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

14 Noviembre, 2020, 12:41 am
Respuesta #3

Masacroso

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Hola

Es que la serie de Laurent de \[ f(z)=\dfrac{1}{z+2} \]  centrada en z=-2 es la misma función. No hay nada qué calcular.

Saludos

Ups, toda la razón, lo había pasado totalmente por alto al escribir mi respuesta.

14 Noviembre, 2020, 08:49 am
Respuesta #4

tamlar

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ostras vale, tenéis razón. Entonces en el caso de que tenga por ejemplo funciones como \( \frac{1}{z} \) o \( \frac{1}{z-2} \) si que tendría que ajustarlas no?

14 Noviembre, 2020, 09:34 am
Respuesta #5

tamlar

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Por ejemplo para la función \( \frac{1}{z} \) tendría que reescribirla como \( \frac{1}{z+2} \frac{1}{1-\frac{2}{z+2}} \) si no me equivoco. A ver si alguien me lo puede confirmar.

14 Noviembre, 2020, 01:26 pm
Respuesta #6

ingmarov

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Hola

ostras vale, tenéis razón. Entonces en el caso de que tenga por ejemplo funciones como \( \frac{1}{z} \) o \( \frac{1}{z-2} \) si que tendría que ajustarlas no?

Sí, en ese caso hay que ajustar.


Por ejemplo para la función \( \frac{1}{z} \) tendría que reescribirla como \( \frac{1}{z+2} \frac{1}{1-\frac{2}{z+2}} \) si no me equivoco. A ver si alguien me lo puede confirmar.

A ver, para una serie centrada en z=-2,

\[ \dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{(z+2)-2}=\dfrac{1}{-2(1-(\frac{z+2}{2}))}=-\dfrac{1}{2}\sum_{i=0}^{\infty}\left(\frac{z+2}{2}\right)^i \]

Convergente para \[ \cancel{0\leq|z|<2} \]   \[ |z+2|<2 \]

O

\[ \dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{(z+2)-2}=\dfrac{1}{(z+2)(1-(\frac{2}{z+2}))}=\dfrac{1}{z+2}\sum_{i=0}^{\infty}\left(\frac{2}{z+2}\right)^i=\sum_{i=0}^{\infty}2^i\left(\frac{1}{z+2}\right)^{i+1} \]

Para. \[ \cancel{2<|z|<\infty} \]    \[ |z+2|>2 \]


En esta página puedes ver varios ejemplos

http://fernandorevilla.es/blog/2014/03/05/desarrollo-en-serie-de-laurent/


Saludos

No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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14 Noviembre, 2020, 01:27 pm
Respuesta #7

Masacroso

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Por ejemplo para la función \( \frac{1}{z} \) tendría que reescribirla como \( \frac{1}{z+2} \frac{1}{1-\frac{2}{z+2}} \) si no me equivoco. A ver si alguien me lo puede confirmar.

Si quieres la serie de Laurent de \( f(z) \) alrededor de un punto \( a\in \mathbb{C} \) cualquiera entonces con el cambio de variable \( w=z-a \) sería equivalente a escribir la serie de Laurent alrededor del cero de \( f(w+a) \).

Entonces por ejemplo si quieres escribir la serie de Laurent de \( \frac1{z} \) alrededor del \( -2 \) y en la región \( |z+2|<2 \) entonces, como \( \frac1{z} \) tiene una singularidad en el cero tal serie de Laurent tiene radio de convergencia \( 2 \) siendo holomorfa en esa región, y te quedaría

\( \displaystyle{
\frac1{z}=\frac1{(z+2)-2}=\frac1{2}\cdot \frac1{w/2-1}=\frac1{2}\sum_{k\geqslant 0}(w/2)^k=\sum_{k\geqslant 0}\frac1{2^{k+1}}(z+2)^k
} \)

Corregido.