[Ricardo Boza]

Hola,

¿Cómo se sabe si una función dada puede escribirse como serie de potencias convergente, es decir, es analítica?

[geómetracat]

¿Funciones \( \Bbb R \to \Bbb R \) o \( \Bbb C \to \Bbb C \)?
En el segundo caso es equivalente a ser derivable en sentido complejo (o a cumplir las ecuaciones de Cauchy-Riemann  que son muy fáciles de comprobar).
En el primer caso que yo sepa no hay ningún criterio sencillo. Un primer paso es que sean \( C^\infty \), pero hay que probar también que el resto del polinomio de Taylor de orden \( n \) tiende a \( 0 \) conforme \( n \) aumenta.

[Ricardo Boza]

Gracias geómetra

[Fernando Revilla]

Enlazando con lo que comenta geómetracat, para funciones reales de variable real, puede ser útil Desarrollos en serie de Maclaurin de las funciones habituales, en donde se demuestra que resto de Taylor tiende a \( 0 \) para estas funciones. En Función suave pero no analítica tienes una función de \( C^\infty \) que no es analítica.