A ver si lo escribo bien, de verdad estoy de nuevo retomando variable compleja.
Supongamos que \( f(z)=f(z_{0}) \) entonces existe una sucesión de puntos \( z_{n}\neq z_{0} \) que converge a \( z_{0} \) tal que \( f(z_{n})=f(z_{0}) \)
\(
f(z_{n})=f(z_{0})\Rightarrow{f(z_{n})-f(z_{0})=0}\\
\Rightarrow{\frac{f(z_{n})-f(z_{0})}{z_{n}-z_{0}}=0}\quad\text{(ya que } z_{n}\neq z_{0})\\
\Rightarrow{\lim_\limits{z_{n} \to z_{0}}{\frac{f(z_n)-f(z_0)}{z_n-z_0}}=0}\quad\text{(Tomando límites en ambos lados de la igualdad)}\\
\Rightarrow{f^{\prime}(z_0)=0}
\)
Lo cual es una contradicción ya que por hipótesis \( f^{\prime}(z_0)\neq 0 \), por tanto \( f(z)\neq f(z_{0}) \)
