Ahora entiendo.
Gracias.
Luego aparte tenía un apartado que decía:
"Se considera el problema de Cauchy de la EDO anterior junto a la condición inicial \( y(0)=1/2 \). Denotemos por \( I(0,1/2) \) y \( \varphi \) su intervalo y solución maximal, respectivamente. Demostrar que \( \varphi \) es decreciente y que \( I(0,1/2)=\mathbb{R} \)."
Que \( \varphi \) es decreciente se averigua fácilmente de que para todo \( y\in (0,1) \), \( y'<0 \).
Que el intervalo de solución maximal es \( \mathbb{R} \) puede verse suponiendo que no sea \( \mathbb{R} \) y llegando a contradicción, pues tendríamos que al menos una de las dos semitrayectorias estaría acotada, y siendo \( d(\tau_{\varphi ^+},\partial \Omega)>0 \) o \( d(\tau_{\varphi ^-},\partial \Omega)>0 \), y se concluiría que la solución es prolongable, en contradicción con el hecho de ser maximal.
Por último:
"Se considera ahora el (PC) con la condición inicial \( y(0)=2 \). Si denotamos \( I(0,2)=(\alpha,\beta) \) probar que \( \alpha=-\infty \) y \( \beta<\infty \), usando la desigualdad \( -y+y^2\geq \frac{1}{2}y^2 \) para \( y\geq 2 \)."
Creo que lo veo más o menos claro, calculando la solución de \( y'=\frac{1}{2}y^2 \), \( y(0)=2 \), la cual es \( \psi=\dfrac{2}{1-x} \), que tiene una asíntota horizontal en \( y=0 \) y una vertical para \( x=1 \). Dibujando el punto \( (0,2) \) en el plano (por el que ambas soluciones pasan), como la derivada de una es mayor que la otra, si no se han encontrado hasta entonces es que siempre quedaba la mayor crecimiento por debajo. Y análogamente, a partir del punto donde coinciden, la de menor crecimiento debe quedar por debajo, pero como tiene una asíntota vertical, eso significa que \( \beta\leq1 \), por lo que \( \beta<+\infty \) según lo que quería probarse.
