Autor Tema: Números complejos

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20 Marzo, 2020, 05:13 am
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juanc

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
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Hola espero su ayuda en lo siguiente:
Si \( z_1,z_2 \) y \( z_3 \) son números complejos diferentes; tales que  \( \left |{z_1}\right |=\left |{z_2}\right |=\left |{z_3}\right |=2020 \);   \( z_1+z_2+z_3=0 \), calcule el valor de \( z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1. \)

20 Marzo, 2020, 06:58 am
Respuesta #1

ingmarov

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Hola

Por los datos podemos plantear

\( z_1=2020e^{i\theta} \)

\( z_2=2020e^{i(\theta+\frac{2\pi}{3})} \)

\( z_3=2020e^{i(\theta-\frac{2\pi}{3})} \)


Creo que debe dar cero


Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

20 Marzo, 2020, 07:07 am
Respuesta #2

Masacroso

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Hola espero su ayuda en lo siguiente:
Si \( z_1,z_2 \) y \( z_3 \) son números complejos diferentes; tales que  \( \left |{z_1}\right |=\left |{z_2}\right |=\left |{z_3}\right |=2020 \);   \( z_1+z_2+z_3=0 \), calcule el valor de \( z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1. \)

Primero podemos considerar el caso en el cual \( z_3=2020 \), entonces

\( \displaystyle{
z_1+z_2=-2020\iff \cos \alpha +\cos \beta ={\color{red}{-}}1\,\land\, \sin \alpha +\sin \beta =0\iff \alpha \equiv -\beta \,\land\, \cos \alpha ={\color{red}{-}}\frac12
\iff \alpha \equiv {\color{red}{2}}\pi/3\pmod{2\pi}
} \)

donde \( \alpha :=\arg(z_1) \) y \( \beta :=\arg(z_2) \), de donde obtenemos como soluciones posibles \( z_1=2020 e^{i{\color{red}{2}}\pi/3},\, z_2=2020 e^{-i{\color{red}{2}}\pi/3} \) y

\( \displaystyle{
z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1=2020^2(1+e^{-i{\color{red}{2}}\pi/3}+e^{i{\color{red}{2}}\pi/3})=2020^2\cdot {\color{red}{0}}
} \)

El caso general se sigue aplicando rotaciones \( e^{i\gamma } \) arbitrarias a los puntos, de donde deducimos que el valor siempre es cero.

CORREGIDO.