Ah ya veo.

francolino creo que lo único que hemos cuestionado de lo planteado por pablito son los limites de integración. El integrando que pablito ha escrito está correcto. ¿qué es lo que te confunde?

terky, tambien sin trabajar mucho se puede utilizar

\( \displaystyle 70=\frac{3}{\cos B_1}- \frac{50}{\sin (B_1)} \)

entonces graficas

\( y_1=70 \)

y

\( y_2=\frac{3}{\cos B_1}- \frac{50}{\sin (B_1)} \)

y encuentras sus interceptos (donde se cruzan).

EDITADO

He cometido un error al igualar \( \cos(B_1-90^0) \textsf{ con} -\sen(B_1) \)

Esto debe ser \( \cos(B_1-90)=\sen(B_1) \)

Y por tanto la ecuación correcta debe ser:

\( 70=\displaystyle\frac{3}{\cos B_1} + \frac{50}{\sen B_1} \)

Como tu lo habías escrito.

Esta es la que puedes usar en la calculadora. Yo lo lamento. Intentaré simplificarla y luego escribo mi resultado.

SIMPLIFICACIÓN

Multiplicando ambos lados por \( \cos{B_1}\sen{B_1} \)

Nos queda

\( 70\cos{B_1}\sen{B_1}=\displaystyle 3\sen{B_1}+50\cos{B_1} \)

Ahora considerando el triangulo siguiente:



Podemos escribir y aplicando identidad en el lado izquierdo

\( 35\sen{2\cdot B_1}=\displaystyle \sqrt{50^2+3^2}(\cos{\theta}\sen{B_1}+\sen{\theta}\cos{B_1}) \)

Aplicando identidad a la derecha

\( 35\sen{2\cdot B_1}=\displaystyle \sqrt{50^2+3^2}(sen(B_1+\theta)) \)

Dos Soluciones

\( B_1\approx{0.8689}rad=49.784^0 \)

y

\( B_1\approx{1.4165}rad=81.159^0 \)

\( \displaystyle 35\sin (2B_1)  =-\sqrt[ ]{50^2+3^2}\cos(B_1+\theta}) \)

\( \theta=\arctan\frac{3}{50}\sim{3.4336^0} \)

\( \sqrt[ ]{50^2+3^2}\sim{50.09} \)

\( \displaystyle 35\sin (2B_1)  =-50.09\cos(B_1+\3.4336^0) \)

Por otra parte, ese 2 común que tienes en el denominador de las fracciones lo puedes sacar fuera y ponerlo como denominador de 35. Luego, opera a ver qué te queda.

No el dos multiplica al 35 o más precisamente.

Multiplicando por 2 toda la ecuación.
\( 2\times 35 = \displaystyle \cancel{2}\left(\frac{3}{\cancel{2}\cos B_1} + \frac{50}{\cancel{2}\cos B_2}\right) \)

\( 70 = \displaystyle \frac{3}{\cos B_1} + \frac{50}{\cos B_2} \)

EDITADO

\( 70 = \displaystyle \frac{3}{\cos B_1} + \frac{50}{\cos (90^0-B_1)}=\frac{3}{\cos B_1} + \frac{50}{\cos (-(B_1-90^0)}=\frac{3}{\cos B_1} + \frac{50}{\cos (B_1-90^0)} \)

\( \display =\frac{3}{\cos B_1}+ \frac{50}{-\sin (B_1)} \)

Muchas gracias por la respuesta.

¿No sería 1/2 en vez de 1, el área total?

¿No sería: \(  \displaystyle \int_{0}^k\color{black} \frac {1}{2} - \sqrt{1 - 4 \cdot x^2}dx  \)?

Saludos.

Hola Francolino.

Creo que estás un poco confundido. Para empezar el 1 por el que preguntaste antes no es el área del rectángulo.
Te lo explicaré de forma general.
Cuando calculamos áreas como esta, piensa en que primero subdividimos horizontalmente esa área en muchos rectángulos cuya base es dx y la altura dependerá de las funciones que limiten superior he inferiormente esa área. Hace falta recordarlo por eso lo anoto \( Area_{Rectangulo}=Base\times Altura \). El Área de uno de esos pequeños rectángulos entonces será \( dA=(f(x)_{sup}-f(x)_{inf})dx \) si queremos hacer la suma de las areas de todos estos regtángulos contruidos desde \( x_0 \) hasta \( x_1 \) debemos integrar \( \displaystyle \int_{x_0}^{x_1}(f(x)_{sup}-f(x)_{inf})dx \)

En tu caso, primero veamos lo que se integrará. \( dA= \displaystyle 1 - \sqrt{1 - 4 \cdot x^2}dx  \)  (dA: diferencial de Area) Si te fijas esto no es más que el área de un rectángulo cuya base es dx y su altura es \( \displaystyle 1 - \sqrt{1 - 4 \cdot x^2}dx  \) La diferencia de las funciones que la limitan superior e inferiormente.
Entonces lo que te escribió pablito esta correcto.

...
Sí las cuentas no me salen mal :

\(  \int_{\frac{-1}{2}}^k 1 - \sqrt{1 - 4 \cdot x^2}dx  \).

Lo he intentado, pero no me sale. Te dieron alguna pista?

Se ve extraña la identidad.

EDITADO

Una prueba

Si n=2, m=3 y t=4

sustituyendo en \( t^nt^m=\displaystyle\frac{n!m!}{(n+m+1)!}t^{n+m+1} \)

Nos queda

\( 4^2 4^3=\displaystyle\frac{2!3!}{(2+3+1)!}4^{2+3+1} \)

\( 4^5=\displaystyle\frac{12}{720}4^{6} \)

\( 1024=\displaystyle\frac{12\times 4096}{720} \)

\( 1024\neq{68.2\overline{6}} \)

Asi que no es igual.

Comienza dibujando el Area. Así comprenderás mejor el problema.

2)
En este punto cuando tengo que justificar \( x=-2 \), el argumento que me viene a la mente es justificar que \( y=1 \) en \( x=-2y \). Y que \( y=1 \) es así en relación a \( f(x)=ka^x \), cuando la función \( f(x)=1 \).
Ahora para \( f(x)=1 \) en \( f(0)=ka^0 \), k debe ser igual a 1.

Puedes explicarme mejor esto por favor. Por qué usas de nuevo x=-2y?

mejor crea otro.