Es que dices que pasaste a multiplicar (x+1) por 1 y luego (x+4) resultandote \( x^2+3x+4 \) que es incorrecto.
debe ser (escribiendo todo) \( (x+1)(x+4)=x^2+5x+4 \) , pero esto es lo que está a la izquierda de la igualdad nada más.
Esto es en general
Cuando resuelves ecuaciones debes mantener la igualdad a ambos lados.
Por ejemplo
\( 1=1 \) yo puedo operar en esta ecuación de muchas formas distintas, pero, lo que opere a un lado debo hacerlo en el otro, así se mantiene la igualdad. Si resto 4 a un lado debe hacerlo al otro.
\( 1-4=1-4 \)
\( -3=-3 \)
En cuanto a el problema que has propuesto. Haciéndolo despacio y explicado quedaria así
\( \dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x}{x+4}=1 \) Multiplico por \( (x+1) \) todo, para eliminar este factor del primer término.
\( \dfrac{x\cancel{(x+1)}}{\cancel{x+1}}+\dfrac{x(x+1)}{x+4}=1(x+1) \) se cancela porque \( \dfrac{(x+1)}{x+1}=1 \)
Queda
\( x+\dfrac{x(x+1)}{x+4}=1(x+1) \)
Ahora multiplicamos toda la ecuación anterior por \( (x+4) \) para cancelar este factor con el denominador del segundo término.
\( x(x+4)+\dfrac{x(x+1)\cancel{(x+4)}}{\cancel{x+4}}=1(x+1)(x+4) \) Se cancel por razones análogas al anterior
Quedando lo que te escribí.
\( x(x+4)+x(x+1)=(x+1)(x+4) \)
SEGUNDA PREGUNTA\( -3x^2 + bx + c = 0 \)
No debes temer a los signos de los términos, esta ecuación cuadrática se resuelve con la fórmula cuadrática.
De forma general, si tenemos un poliomio \( ax^2+bx+c=0 \)
Entonces hay dos soluciones reales dadas por \( x_{1,2}=\dfrac{-b\pm{}\sqrt[ ]{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a} \)
Siempre que \( b^2-4\cdot a\cdot c>0 \)
Te daré como ejemplo la primera ecuación que presentaste.
Spoiler
\( \color{blue}x(x+4)+\color{red}x(x+1)=\color{black}(x+1)(x+4) \)
Primero multiplicamos todo
\( \color{blue}x^2+4x+\color{red}x^2+x=\color{black}x^2+5x+4 \)
Ahora sumamos resultando os términos de la izquierda
\( 2x^2+5x=x^2+5x+4 \)
Ahora restamos a ambos lados \( x^2+5x+4 \)
\( 2x^2+5x-(x^2+5x+4)=\cancel{x^2+5x+4}-\cancel{(x^2+5x+4)} \) se cancelan porque su resta es igual a cero
Y nos queda \( 2x^2+5x-(x^2+5x+4)=0 \)
Si simplificas te queda \( x^2-4=0 \)
Si factorizas te queda \( (x+2)(x-2)=0 \) Por el teorema del factor cero podemos decir que las soluciones son \( \color{blue}\pm{2} \)
Y si utilizamos la cuadrática
debemos identificar los coeficiente a,b y c para \( x^2-4=0 \)
a=1, b=0,c=-4
Sustituyendo en la ecuación cuadrática
\( x_{1,2}=\dfrac{-b\pm{}\sqrt[ ]{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}=\dfrac{-(0)\pm{}\sqrt[ ]{(0)^2-4\cdot (1)\cdot (-4)}}{2\cdot (1)}=\dfrac{\pm{}\sqrt[ ]{16}}{2}=\dfrac{\pm{4}}{2}=\color{blue}\pm{2} \)