Hola
Hola.
Tengo el siguiente ejercicio y el tema que estoy viendo ahorita es sobre parábolas.
a) Exprese, en función de \( x \) el cuadrado de la distancia \( d \) del punto \( (x,y) \) en la gráfica de \( y=2x \), al punto \( (5,0) \).
b) Use la función de la parte a) para calcular el punto \( (x,y) \) que es el más cercano \( (5,0) \)
Hice a) y me dio \( 5x^2-10x+25=d^2 \)
Cómo estoy viendo parábolas y sé que el punto más bajo se encuentra en el vértice calculé las coordenadas del vértice que son \( (1,20) \) tracé \( x=1 \) y calcule la intersección con \( y=2x \) que es \( 2 \) , y esta es la respuesta que me da libro \( (1,2) \) pero sólo lo hice porque debía hacer algo, no sé por qué es esto correcto. Para verificarlo calcule el punto de otro modo sin usar parábolas, encontré la recta perpendicular que va del punto \( (5,0) \) y luego mediante un sistema de ecuaciones encontré el punto. Quisiera saber por qué es válido en la forma que lo encontré primero.
Saludos.
En Geometría euclidiana, la distancia de un punto a una recta es la distancia más corta entre ese punto y un punto de una línea o recta.
Encontraste que \[ d^2=5x^2-10x+25 \], en palabras esta ecuación expresa el cuadrado de la distancia del punto dado (5,0) hacia cualquier punto (x,y) perteneciente a la gráfica de la función \[ y=2x \]
Hagámos una prueba innecesaria, tomemos \[ x=10 \], para este valor \[ y=20 \], entonces el punto (10,20) pertenece a la gráfica de la función. ¿Cuál es la distancia desde (10,20) al punto dado (5,0)? \[ d=\sqrt{(10-5)^2+(20)^2}=5\sqrt{17}\Rightarrow{d^2=\bf\color{blue}425} \]
Probemos la ecuación encontrada con el valor de x=10
\[ d^2=5(10)^2-10(10)+25=500-100+25=\bf\color{blue}425 \]
Y funciona perfectamente, como debe ser.
\[ d^2=5x^2-10x+25 \]
Esta parábola es cóncava hacia arriba, por lo que tiene el mínimo absoluto en su vértice. Entonces la coordenada x de del punto del la gráfica de y=2x, cuya distancia es la mínima hacia el punto (5,0) coincide con la coordenada x del vértice de esta parábola.
No sé si esto te ayuda, espero que sí.
Saludos