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Temas - Soofíaa

Páginas: [1] 2
1
Si \( w \in V \) y \( \{v_1,...,v_n\} \subset{} V \) es un sistema libre (resp.: generador; base)

¿Es \( \{v_1 + w,..., v_n+w \} \) libre (resp.: generador; base)?

_________

Buen día, ¿alguna forma corta de demostrar esto? :banghead: gracias de antemano.

Saludos!

2
Análisis Matemático / Encontrar límite de sucesión
« en: 18 Junio, 2021, 03:02 am »
Se define para \( x\geq{} 0 \):

                \( e^x = \displaystyle\sum_{k=0}^\infty{\displaystyle\frac{x^k}{k!}} = \displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{\left(1+\displaystyle\frac{x}{n}\right)^n} \)

Sea \( \{ u_n \} \) una sucesión tal que \( u_n \downarrow 0 \) cuando \( n \) tiende a \( \infty \)  y \( u_n \geq{0} \); se define la sucesión

             \( v_n = \left(1+u_n a\right)^{\displaystyle\frac{1}{u_n}} \)

Encuentre \( \displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{v_n} \).
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Buenas, ¿como puedo aplicar lo primero en lo que piden? Muchas gracias de antemano

3
Análisis Matemático / Encontrar límite de sucesión n+1
« en: 17 Junio, 2021, 11:44 am »
Sea \( \{ x_n \} \) dada por
\( x_0 > 0 \)  y \( x_{n+1} = \displaystyle\frac{1}{2}\left(x_n + \displaystyle\frac{a}{x_n} \right) \) con \( a>0 \). Encuentre el límite de la sucesión.
Aproxime \( \sqrt{\pi} \) con \( 8 \) decimales. (Indicación: use \( \epsilon = 10^{-8} \))
____

Buen día, como puedo encontrar el límite de esta sucesión? me complica que haya un \( x_{n+1} \), luego, no sé como proceder con el \( \{ x_n \} \) solicitado.

Gracias de antemano.

4
Análisis Matemático / Infimos y supremos sucesiones
« en: 17 Junio, 2021, 11:33 am »
Sea \( x_n \) sucesión acotada, es decir, existe \( M>0 \) tal que \( |x_n| \leq{M} \) para todo \( n \in \mathbb{N} \). Se definen las sucesiones:

 \( \overline{v_n} =    sup  \bigcap\limits_{k\geq{n}} \overline{ \{ x_k \} } \)                    \( \underline{v_n} = \text{ínf} \bigcap\limits_{k\geq{n}} \overline{ \{ x_k \} } \)
 Demuestre que \( \overline{v_n} \) y \( \underline{v_n} \) convergen. ¿Pueden tener el mismo límite?. Estudie \( \overline{v_n} \) y \( \underline{v_n} \) para los casos \( x_n = (-1)^n \), \( x_n = (-1)^n / n \), \( x_n = (-1)^n + (-1)^{n+1} / n \)      y     \( x_n = \displaystyle\sum_{j=0}^n{(-1)^j} \)
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Buen día, me podrían echar una mano con esto? la verdad me complica mucho la notación \( \bigcap\limits_{k\geq{n}} \), no logro encontrar información sobre como usarla

Gracias de antemano.

5
Análisis Matemático / Duda sobre criterio de cauchy
« en: 15 Junio, 2021, 06:40 pm »
Usando el criterio de Cauchy, demuestre que \( \{ S_n \} \subset{} \mathbb{R} \) dada por:

                   \( S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n{\displaystyle\frac{1}{k^p}} \)

converge si \( p>1 \). Estudie el caso \( p=2 \)
____________

Buenas tardes, ¿como puedo demostrar esto si \( p>1 \)?

Logré demostrar para \( p=2 \), no obstante, no logro encontrar la forma para hacerlo con \( p>1 \)

_____
Para p=2
Spoiler
Para p=2:

La serie \( \displaystyle\sum_{k=1}^n{\displaystyle\frac{1}{k^2}} \) es convergente \( \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}: \left |\displaystyle\sum_{k=m}^n{\displaystyle\frac{1}{k^2}} \right | < \epsilon \), \( \forall n \geq m \geq N \)
Luego, \( \displaystyle \frac{1}{k} < \frac{1}{k-1} \), \( \forall k \in \mathbb{N} \)
Luego, \( \displaystyle \frac{1}{k^2}< \frac{1}{k(k-1)} \)
\( \displaystyle \left |\displaystyle\sum_{k=m}^n{\displaystyle\frac{1}{k^2}} \right | = \displaystyle \displaystyle\sum_{k=m}^n{\displaystyle\frac{1}{k^2}} < \displaystyle \displaystyle\sum_{k=m}^n{\displaystyle\frac{1}{k(k-1)}} =\displaystyle\sum_{k=m}^n \left ( {\displaystyle\frac{1}{k-1}} - \frac{1}{k} \right ) = \left ( \frac{1}{m-1} - \frac{1}{m} \right ) + \left ( \frac{1}{m} - \frac{1}{m+1}  \right )+ \displaystyle \left ( \frac{1}{m+1} - \frac{1}{m+2} \right ) +...+ \left ( \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n} \right ) \)


\( \displaystyle = \left ( \frac{1}{m-1} - \frac{1}{n} \right ) < \frac{1}{m-1} \rightarrow 0 \), ya que si \( m \rightarrow \infty \) \( \displaystyle \frac{1}{N-1} < \epsilon \)

Luego, sea \( \epsilon > 0 \) elíjase a \( N \in \mathbb{N} \) lo suficientemente grande tal que \( \displaystyle \frac{1}{N-1} < \epsilon \) (tal N existe ya que \( \displaystyle \lim_{N \to \infty} \left ( \frac{1}{N-1} \right )=0 \) )
Para \( n \geq m \geq N \) se cumple:

\( \displaystyle \left |\displaystyle\sum_{k=m}^n{\displaystyle\frac{1}{k^2}} \right | = \displaystyle \displaystyle\sum_{k=m}^n{\displaystyle\frac{1}{k^2}} < \displaystyle \displaystyle\sum_{k=m}^n{\displaystyle\frac{1}{k(k-1)}} = \frac{1}{m-1} - \frac{1}{n} < \frac{1}{m-1} \leq \frac{1}{N-1} < \epsilon \)

\( \Rightarrow \displaystyle\sum_{k=1}^n{\displaystyle\frac{1}{k^2}} \) Por lo tanto, es una serie convergente.

[cerrar]


Gracias de antemano!

6
Computación e Informática / Python numpy y cuadrados mágicos
« en: 07 Junio, 2021, 02:48 am »
Buen día, me podrían echar una manito para hacer este ejercicio con python?
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Todo cuadrado mágico básico de orden \( n \) tiene la misma constante "mágica", por lo que sin ambigüedad la podemos denotar por \( k_n = \displaystyle\frac{n(n^2 +1)}{2} \).
Escribir un programa que tome una matriz cuadrada (arreglo de Numpy) y verifique si esta es o no un cuadrado mágico básico.

7
a) Sea \( \{ x_n \} \) una sucesión de Cauchy en \( \mathbb{R} \). Demuestre que la sucesión \( \{ y_N \} \) dada por

                                        \( y_N = \displaystyle\frac{1}{N} \displaystyle\sum_{i=1}^N{x_i} \)

es de Cauchy.

b) Suponga ahora que \( x_n \) converge a \( \bar{x} \), demuestre que \( \{ y_N \} \) también converge a \( \bar{x} \).

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Buen día, me podrían echar una mano para resolver esto? gracias de antemano

8
Estructuras algebraicas / Grupo simétrico, demostración corta
« en: 05 Junio, 2021, 09:04 pm »
Sean \( n \) y \( m \) enteros, \( 2 \leq{} m \leq{} n \).

Demuestre que toda permutación par de \( S_n \) puede expresarse como composición de ciclos de largo \( m \).

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Buen día, ¿alguna forma corta de demostrar esto? muchas gracias de antemano.

9
Estructuras algebraicas / Dudas sobre grupo simétrico
« en: 03 Junio, 2021, 05:33 am »
1. Si \( n\geq{3} \) demuestre que \( A_n \), el grupo alterno (formado por las permutaciones pares) es engendrado por los ciclos de largo 3.

2. Utilice lo anterior para demostrar que \( A_n \) es generado por los ciclos \( (1,2,k) \), donde \( 3\leq{k}\leq{n} \).
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Buen día, me podrían echar una mano para demostrar esto? (idealmente de una forma corta)

Para la 1) tengo que para n>3 toda permutación par es producto de un número par de trasposiciones, luego \( (a,b)(c,d)=(a,c,b)(a,c,d) \) y \( (a,b)(a,c)=(acb) \) son productos de ciclos de largo 3.

Pero no se si estaré bien encaminada. Agradecería mucho de su ayuda.

10
Dados tres valores reales \( a, b, c \) tales que \( c < a < b \), se define la función \( f:\mathbb{R} \rightarrow{\mathbb{R} } \) dada por \( f(x)=(x-b)(x-c) \) cuando \( x<a \) y \( f(x)=-(x-a)(x-b) \) cuando \( x\geq{a} \)

Encuentre
i) \( f([0,a[) \)
ii) \( f([a- \epsilon, a + \epsilon]) \) para \( \epsilon > 0 \)
iii) \( f(]c,a[) \)
iv) \( f^{-1}(]0,(\frac{b-a}{2})^{2}[) \)
v) \( f^{-1}(](a-b)(a-c),0[) \)
vi) \( f^{-1}(]-\infty , (a-b)(a-c)[) \)
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Buen día, me podrían echar una mano para plantear esto? no estoy acostumbrada a este tipo de notación por intervalos de funciones, pero de momento se me ocurre hacer un gráfico "a pedazos" de 2 cuadráticas e ir analizando, pero ahí quedo.

Gracias de antemano,

Un saludo cordial

11
Estructuras algebraicas / Demostrar ideales maximales y anillos
« en: 21 Mayo, 2021, 09:45 am »
Si \( f \) es sobreyectiva demuestre que:
    1. M es ideal maximal de \( A \Rightarrow f(M) \) ideal maximal de B.
    2. \( Ker(f) \) es un ideal primo \( \iff  B \) es un anillo íntegro.

Lo que llevo:
\( 1. \)
Si tenemos \( f(M) \subset I \subset B \), aplicando \( f \) nuevamente, \( M \subset f^{-1}(I) \subset A \), como \( M \) es maximal \( f^{-1}(I) = M \) o \( f^{-1}(I) = R \), de esto se desprende \( f(M) = I \) o \( I = B \) osea que \( f(M) \) es maximal.

\( 2. \)
Por un lado. Es inmediato mostrar que \( A/ker(f) \) es un anillo íntegro. Si definimos la función \( \phi:A/ker(f) \rightarrow f(A) \text{ : } a+ker(f) \rightarrow f(a) \) es un isomorfismo. \( f \) es epiyectiva, entonces \( f(A) = B \) por tanto \( B \) es un anillo íntegro.
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Buen día, ¿alguna retroalimentación que me podrían dar para este desarrollo?

12
Estructuras algebraicas / Ideales y sobreyectividad
« en: 21 Mayo, 2021, 09:27 am »
Demuestre que \( f \) es sobreyectiva si y sólo si para todo \( I \) ideal de \( A \) el conjunto \( f(I) \) es un ideal de \( B \).

Lo que llevo:
Por un lado basta con demostrar que \( f(I)= J \) es un ideal de B.
Se tiene que para cualquier \( m,n \in J \), además \( b \in B \) debemos mostrar que \( bm \in J \).
Tenemos, \( n',m' \in I \), decimos que \( f(n') = n \) y \( f(m') = m \), entonces \( f(n' + m') = n + m \in f(I) \).
Digamos que \( a \in A \) y establecemos que \( f(a) = b \), ahora bien, \( bm = f(a)f(m') = f(am') \), \( am' \in I \), así \( bm \in J \)

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¿Qué cosa agregarían a la demostración?
Gracias de antemano, saludos!

13
Estructuras algebraicas / Anillo finito e ideal maximal
« en: 21 Mayo, 2021, 09:19 am »
Demuestre que si \( A \) es un anillo finito entonces todo ideal primo es maximal. Con un ejemplo, muestre que el recíproco no es válido.

\( Respuesta: \)

Supongamos que \( I \) es ideal primo de \( A \), entonces \( A/I \) es un anillo íntegro finito, es decir, un cuerpo, así \( I \) es maximal.

_______________

Buen día, ¿qué contraejemplo darían para esta pregunta?
Si tienen alguna otra retroalimentación me serviría mucho, saludos!


14
Sea \( f:X\rightarrow{X} \) y \( g:Y\rightarrow{Y} \) dos funciones, se define \( F:X\times{Y}\longrightarrow X\times{Y} \) tal que \( F(x,y)=(f(x),g(y)) \). Encuentre condiciones sobre f y g tal que dados \( U_{1} \) y \( U_{2} \) \( \subset{X\times{Y}} \), se tiene que:

                       \( F(U_{1} \cap{U_{2}}) = F(U_{1}) \cap{F(U_{2})} \)
y
                       \( F(U_{1} \cup U_{2}) = F(U_{1}) \cup F(U_{2}) \)

Sea ahora \( W=X_{1} \times Y_{1} \subset X \times Y \), demuestre que \( F^{-1}(W)=f^{-1}(X_{1}) \times g^{-1}(Y_{1}) \).

Demuestre que \( F \) es biyectiva si, y solo si \( f \) y \( g \) son biyectivas.

_____

Buen día, ¿me podrían echar una mano con esto?

Lo que entiendo es que se trata de funciones de dos variables, al tener el producto cruz entre X e Y

Tengo que \( F(x_{1},y_{1})=F(x_{2},y_{2}) \)
y si es inyectiva, entonces
\( (x_{1},y_{1})=(x_{2},y_{2}) \)

Casi intuitivamente creo que las primeras propiedades se satisfacen con eso, sin embargo, creo que me falta mucha retroalimentación.

Con lo siguiente creo que habría que ir probando de forma de que \( x \in{ALGO} \), pero me pierdo mucho al tratarse de 2 variables.

Agradecería mucho de su ayuda!

15
Álgebra / Demostración de producto de mcm con mcd
« en: 08 Mayo, 2021, 11:20 pm »
Si se define el mínimo común multiplo \( mcm(x,y) \) como el menor valor de \( z \) tal que \( x|z \) e \( y|z \). Probar que \( mcd(x, y) · mcm(x, y) = x · y \)


Me podrían echar una mano en esta demostración?

Creo que el camino va hacia que la multiplicación y la división son en esencia "lo mismo" pero a la inversa, no obstante, no se me ocurre una forma formal de relacionarlo con el mcm y mcd.

Agradecería mucho de su ayuda!!  :-[

16
Álgebra / Probar que mcd(x,y)=mcd(x,y +nx)
« en: 08 Mayo, 2021, 11:13 pm »
Probar que \( mcd(x,y)=mcd(x,y+nx) \) para todo \( n \in \mathbb{Z} \).

¿Cómo harían esta demostración?

Intuitivamente se me hace que es cierto, no obstante, no logro llegar a una forma formal de hacerlo.

Noto que si el \( mcd(x,y) \) fuese un número cualquiera, entonces en \( mcd(x,y+nx) \), el  \( y+nx \) debería tener alguna dependencia lineal con \( x \), pero no se me ocurre como expresarlo  :banghead: .

Agradecería mucho de su ayuda!!
Si tienen una demostración sencilla para esto, se apreciaría un montón.

17
Análisis Matemático / Dudas sobre relación de equivalencia
« en: 01 Mayo, 2021, 06:54 am »
Sea \( L > 0 \), se define el conjunto \( P_{L} \) de los paralelogramos de perímetro fijo igual a \( L \).
Se define la relación: dados \( P_{1}, P_{2} ∈ P_{L} \), entonces:

\( P_{1} \) R \( P_{2} \) si \( Área(P_{1})=Área(P_{2}) \)

¿Es esta una relación de equivalencia? En caso de ser afirmativa su respuesta, encuentre las
clases de equivalencia.

Ahora sea siempre \( L > 0 \), definimos \( P2_{L} \) = {rectángulos y cuadriláteros de perímetro fijo \( L \)}, donde definimos el orden Rectángulo1<Rectángulo2 si y solo si \( Area(Rectangulo1) <Area(Rectangulo2). \). ¿Es un orden total o parcial?, justifique su respuesta. Sobre \( P2_{L} \) encuentre, si es que existen, elemento máximo, elemento mínimo, supremo, ínfimo.

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Hola, me podrían ayudar a resolver este ejercicio? gracias de antemano

18
Estructuras algebraicas / Conjuntos finitos, grupos
« en: 25 Abril, 2021, 01:00 am »
Argumente sobre la validez de las afirmaciones:

\( (i) \) Toda reunión numerable de conjuntos finitos disjuntos es numerable.

\( (ii) \) Si un monoide con \( 2n \) elementos tiene al menos \( n \) elementos invertibles entonces es un grupo.

\( (iii) \) Si \( H,K \) son subgrupos conmutativos de un grupo \( G \) que verifican \( H \cap{K}=\left\{{1_{g}}\right\} \) y \( H K = G \), entonces \( G \) es conmutativo.


____

Hola, como argumentarían para cada una? gracias de antemano  :o

19
1. Enuncie y demuestre el teorema de la división euclidiana para enteros.

2. Sean \( G \) un grupo y \( g, h \in{G} \), de ordenes finitos, tales que \( gh = hg \) y
\( \left<{g}\right>\cap \left<{h}\right> = \left\{{1_{g}}\right\} \). Demuestre que \( o(gh) = mcm(o(g),o(h)) \).

Hola buenas tardes, me podrían echar una mano en esto, gracias de antemano.  :-[

20
1. Para todo \( k\in \Bbb N \), pruebe que \( \Bbb N^{k} \) es equipotente a \( \Bbb N \).

2. Sea \( s:\Bbb N \rightarrow{\Bbb N} \) definida por \( s(n) = n + 1 \). Determine el conjunto \( F_{s} \) de las funciones \( f: \Bbb N \rightarrow{\Bbb N} \) que conmutan con \( s \) y demuestre que es un monoide conmutativo equipotente a \( \Bbb N \).


Buen día, me podrían echar una mano con estos 2 ejercicios? muchas gracias de antemano.

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