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Matemática => Análisis Matemático => Variable compleja y Análisis de Fourier => Mensaje iniciado por: lindtaylor en 02 Junio, 2014, 06:56 am

Título: Sobre serie de potencias de una función compleja. Conway.
Publicado por: lindtaylor en 02 Junio, 2014, 06:56 am
Si \( f(z)=\frac{1}{2i}\log(\frac{1+iz}{1-iz}) \), muestre que \( \displaystyle f(z)=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{z^{2k+1}}{2k+1} \) para \( |z|<1. \)

¿Cómo encuentro esa serie de potencias? debe haber algún truco quizás...
Desde ya gracias.
Título: Re: Sobre serie de potencias de una función compleja. Conway.
Publicado por: Fernando Revilla en 02 Junio, 2014, 07:21 am
¿Cómo encuentro esa serie de potencias? debe haber algún truco quizás...

Expresa el logaritmo del cociente como diferencia de logaritmos y usa el conocido desarrollo de \( \log (1+w) \) en \( \left |{w}\right |<1. \)
Título: Re: Sobre serie de potencias de una función compleja. Conway.
Publicado por: ingmarov en 02 Junio, 2014, 07:22 am
\( \displaystyle f(z)=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{z^{2k+1}}{2k+1} \)

Esta es la serie del Sen(z)
No es le falta el factorial  :banghead:
Título: Re: Sobre serie de potencias de una función compleja. Conway.
Publicado por: Fernando Revilla en 02 Junio, 2014, 07:23 am
\( \displaystyle f(z)=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{z^{2k+1}}{2k+1} \)

Esta es la serie del Sen(z)

Faltarían los factoriales en el denominador.  :)
Título: Re: Sobre serie de potencias de una función compleja. Conway.
Publicado por: ingmarov en 02 Junio, 2014, 08:12 am
Ahora sí. Esta serie es la serie del Arctan(z)
\( \displaystyle Arctan(z)=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{z^{2k+1}}{2k+1} \)

Demostración
Spoiler
Si \(  z=\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\Rightarrow{\theta=\arctan z} \)

\( \displaystyle z=\frac{e^{j\theta}-e^{-j\theta}}{j(e^{j\theta}+e^{-j\theta})} \)

\( \displaystyle jz=\frac{e^{j\theta}-e^{-j\theta}}{e^{j\theta}+e^{-j\theta}} \)

multiplicando en el lado derecho por \( \frac{e^{j\theta}}{e^{j\theta}} \)

\( \displaystyle jz=\frac{e^{2j\theta}-1}{e^{2j\theta}+1} \)

\( \displaystyle jz(e^{2j\theta}+1)=e^{2j\theta}-1 \)

\( \displaystyle e^{2j\theta}(jz-1)=-1-jz \)

\( \displaystyle e^{2j\theta}=\frac{-1-jz}{jz-1}=\frac{1+jz}{1-jz} \)

aplicando logaritmo a ambos lados
\( 2j\theta}=Log(\frac{1+jz}{1-jz}) \)

\( \theta}=\frac{1}{2j}Log(\frac{1+jz}{1-jz}) \)

\( Arctan(z)=\frac{1}{2j}Log(\frac{1+jz}{1-jz}) \)
[cerrar]
Título: Re: Sobre serie de potencias de una función compleja. Conway.
Publicado por: lindtaylor en 02 Junio, 2014, 11:15 am
muchas gracias a todos, variable compleja está siendo mi némesis.