Rincón Matemático

Matemática => Análisis Matemático => Cálculo 1 variable => Mensaje iniciado por: fjramirez en 01 Junio, 2014, 07:52 pm

Título: No sé cómo estudiar el carácter de esta serie.
Publicado por: fjramirez en 01 Junio, 2014, 07:52 pm
Hola,

parece mentira, pero he hecho un montón de ejercicio y en este estoy dudando. La serie es:

\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {\displaystyle\frac{n+1}{n}} \)

y me piden calcular el caracter de la serie y sumarla si es posible.

Yo he calculado el limite, y me da 1. (Hasta el momento yo sabia que si sale infinito no converge directamente, y si sale 0 se debe estudiar por algún criterio. ¿Si sale otro valor que quiere decir?

He usado el criterio del cociente y me sale 1, no decide y luego el criterio de Raabe donde me sale 0, divergente. ¿Es correcto esto?

Lo que me descuadra es que hasta el momento al calcular el limite me salia infinito o 0, nunca me había salido 1

Saludos y gracias
Título: Re: No sé cómo estudiar el carácter de esta serie.
Publicado por: ingmarov en 01 Junio, 2014, 08:17 pm
\( \displaystyle\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n} \)
Si sumas \( 1+1+1+... \) infinitamente, la suma tenderá a infinito.
Si separas las sumatorias.
\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty 1+\sum_{n=1}^\infty {\displaystyle\frac{1}{n}} \)
Tendrás la suma de dos series divergentes.
Título: Re: No sé cómo estudiar el carácter de esta serie.
Publicado por: fjramirez en 01 Junio, 2014, 08:30 pm
\( \displaystyle\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n} \)
Si sumas \( 1+1+1+... \) infinitamente, la suma tenderá a infinito.
Si separas las sumatorias.
\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty 1+\sum_{n=1}^\infty {\displaystyle\frac{1}{n}} \)
Tendrás la suma de dos series divergentes.

Gracias, no lo había visto así, \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {\displaystyle\frac{1}{n}} \) es la serie armónica que es divergente.
Título: Re: No sé cómo estudiar el carácter de esta serie.
Publicado por: ingmarov en 01 Junio, 2014, 08:34 pm
ok
Título: Re: No sé cómo estudiar el carácter de esta serie.
Publicado por: Fallen Angel en 01 Junio, 2014, 08:41 pm
Es condición necesaria (pero no suficiente) que el término general tienda a 0 para que la suma sea convergente
Título: Re: No sé cómo estudiar el carácter de esta serie.
Publicado por: fjramirez en 01 Junio, 2014, 09:01 pm
ok

Me a surgido ahora una duda  :( si \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {\displaystyle\frac{1}{n}} \)  es divergente; tego en mis apuntes que
\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {\displaystyle\frac{1}{n^2}} \) es convergente. ¿Esto es correcto? Esta suma tiende a infinito no? igual que la otra.
Título: Re: No sé cómo estudiar el carácter de esta serie.
Publicado por: mathtruco en 01 Junio, 2014, 09:03 pm
Si separas las sumatorias.
\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty 1+\sum_{n=1}^\infty {\displaystyle\frac{1}{n}} \)
Tendrás la suma de dos series divergentes.

Cuidado con eso. Si \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty x_n \)   y   \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty y_n \) divergen, entonces no es cierto que \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty (x_n+y_n)=\sum_{n=1}^\infty x_n+\sum_{n=1}^\infty y_n \).

Usando dicho argumento se podría llegar a cosas como:

   \( 0=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty 0=\sum_{n=1}^\infty (1-1)=\sum_{n=1}^\infty 1-\sum_{n=1}^\infty (-1) \)

lo cual es una contradicción.


Como dice Fallen Angel, sabemos que:

    Si \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty x_n \) converge, entonces \( \displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=0 \),

o equivalentemente (el contrarecíproco)

    Si \( \displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n\neq 0 \) entonces \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty x_n \) diverge.

En tu caso \( \displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n+1}{n}=1\neq 0 \) y por tanto diverge.
Título: Re: No sé cómo estudiar el carácter de esta serie.
Publicado por: mathtruco en 01 Junio, 2014, 09:07 pm
Me a surgido ahora una duda  :( si \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {\displaystyle\frac{1}{n}} \)  es divergente; tego en mis apuntes que
\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {\displaystyle\frac{1}{n^2}} \) es convergente. ¿Esto es correcto? Esta suma tiende a infinito no? igual que la otra.

    \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n} \) diverge.

    \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2} \) converge.

Supongo que en tus apuntes tienes alguna justificación (demostración) para esto.

Concuerdo que suena raro, porque ambas parece que se comportaran de forma similar. Pero en el infinito pasan cosas raras (como lo que expliqué en mi respuesta anterior), y por eso hay que ser cuidadosos con los resultados que utilizamos.
Título: Re: No sé cómo estudiar el carácter de esta serie.
Publicado por: fjramirez en 01 Junio, 2014, 09:25 pm

Cuidado con eso. Si \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty x_n \)   y   \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty y_n \) divergen, entonces no es cierto que \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty (x_n+y_n)=\sum_{n=1}^\infty x_n+\sum_{n=1}^\infty y_n \).


y cuando es cierto \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty (x_n+y_n)=\sum_{n=1}^\infty x_n+\sum_{n=1}^\infty y_n \)
Título: Re: No sé cómo estudiar el carácter de esta serie.
Publicado por: Juan Pablo Sancho en 01 Junio, 2014, 09:35 pm
Cuando \(  \sum_{n=1}^{+\infty} x_n  \) y \(  \sum_{n=1}^{+\infty} y_n  \) convergen.


\(  {\red Editado }  \).
Spoiler

Más en general dados \(  \alpha , \beta \in R  \).

\(  \sum_{n=1}^{+\infty} (\alpha \cdot x_n + \beta \cdot y_n) = \alpha \cdot \sum_{n=1}^{+\infty}  x_n + \beta \cdot \sum_{n=1}^{+\infty} y_n  \).

Prueba:

Para todo \(  m \in N  \) tenemos:


\(  \sum_{n=1}^{m} (\alpha \cdot x_n + \beta \cdot y_n) = \alpha \cdot \sum_{n=1}^{m}  x_n + \beta \cdot \sum_{n=1}^{m} y_n  \).

\(  Lim_{m \to +\infty} \sum_{n=1}^{m} (\alpha \cdot x_n + \beta \cdot y_n) =  \)

\(  Lim_{m \to +\infty} (\alpha \cdot \sum_{n=1}^{m}  x_n + \beta \cdot \sum_{n=1}^{m} y_n) =  \)

\(  = \alpha \cdot Lim_{m \to +\infty} \sum_{n=1}^m x_n + \beta \cdot lim_{m \to  +\infty} \sum_{n=1}^m y_n  \).

[cerrar]
Título: Re: No sé cómo estudiar el carácter de esta serie.
Publicado por: Fallen Angel en 02 Junio, 2014, 12:40 pm
Es cierto cuando convergen absolutamente.

Para la suma de los inversos de los cuadrados, puedes encontrar más información aquí:
http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/dyakubov/VC_II_2009/R_Granero_Belinchon_2009_El_Problema_de_Basilea.pdf

Hay más formas de probar su convergencia, pero la original de Euler es muy elegante (aunque tenga algún fleco en principio).

Un saludo
Título: Re: No sé cómo estudiar el carácter de esta serie.
Publicado por: fjramirez en 19 Junio, 2014, 10:57 pm
Hola de nuevoo,

pues ahora tengo un problema con la siguiente serie:

\( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{ \displaystyle\frac{2^n+3^n}{4^n} } \)

no se como estudiarla...  :'(

Alguna sugerencia?
Título: Re: No sé cómo estudiar el carácter de esta serie.
Publicado por: Juan Pablo Sancho en 19 Junio, 2014, 11:01 pm
\(  \dfrac{2^n + 3^n}{4^n} < \dfrac{3^n + 3^n}{4^n} = \dfrac{2\cdot 3^n}{4^n} = 2(\dfrac{3}{4})^n  \) por comparación convergente.



\(  {\red Editado }  \).

\(  \sum_{n=1}^m \dfrac{2^n + 3^n}{4^n} < \sum_{n=1}^m \dfrac{2\cdot 3^n}{4^n} = 2\cdot \sum_{n=1}^m \dfrac{3^n}{4^n} <  \)

\(  < 2\cdot \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{3^n}{4^n} = 2\cdot 3 = 6  \).
Título: Re: No sé cómo estudiar el carácter de esta serie.
Publicado por: fjramirez en 19 Junio, 2014, 11:02 pm
\(  \dfrac{2^n + 3^n}{4^n} < \dfrac{3^n + 3^n}{4^n} = \dfrac{2\cdot 3^n}{4^n} = 2(\dfrac{3}{4})^n  \) por comparación convergente.

Y como hago la suma??
Título: Re: No sé cómo estudiar el carácter de esta serie.
Publicado por: Juan Pablo Sancho en 19 Junio, 2014, 11:07 pm
\(  \sum_{i=1}^{+\infty} \dfrac{2^n + 3^n}{4^n} =  \sum_{i=1}^{+\infty} [\dfrac{2^n}{4^n}  + \dfrac{3^n}{4^n}] =  \)

\(  =  \sum_{i=1}^{+\infty} [(\dfrac{2}{4})^n  + (\dfrac{3}{4})^n]  \).

Sí \(   |p| < 1  \).

\(  \sum_{i=1}^{+\infty} p^i = \dfrac{p}{1-p}  \).

\(  {\red Editado }  \).

Sea \(  |p| < 1  \)
\(  p_n = p + p^2 + \cdots + p^{n-1} + p^n  \)
\(  p\cdot p_n = p^2 + p^3 + \cdots + p^n + p^{n+1}  \)

\(  p_n - p\cdot p_n = p-p^{n+1}  \)

\(  p_n \cdot (1-p)= p-p^{n+1}  \)

\(  p_n = \dfrac{p}{1-p} - \dfrac{p^{n+1}}{1-p}  \).

\(  lim_{n \to +\infty} p_n = \dfrac{p}{1-p} - \dfrac{ lim_{n \to +\infty} p^{n+1}}{1-p} = \dfrac{p}{1- p}  \).
Título: Re: No sé cómo estudiar el carácter de esta serie.
Publicado por: fjramirez en 20 Junio, 2014, 12:11 am
\(  \sum_{i=1}^{+\infty} \dfrac{2^n + 3^n}{4^n} =  \sum_{i=1}^{+\infty} [\dfrac{2^n}{4^n}  + \dfrac{3^n}{4^n}] =  \)

\(  =  \sum_{i=1}^{+\infty} [(\dfrac{2}{4})^n  + (\dfrac{3}{4})^n]  \).

Sí \(   |p| < 1  \).

\(  \sum_{i=1}^{+\infty} p^i = \dfrac{p}{1-p}  \).

\(  {\red Editado }  \).

Sea \(  |p| < 1  \)
\(  p_n = p + p^2 + \cdots + p^{n-1} + p^n  \)
\(  p\cdot p_n = p^2 + p^3 + \cdots + p^n + p^{n+1}  \)

\(  p_n - p\cdot p_n = p-p^{n+1}  \)

\(  p_n \cdot (1-p)= p-p^{n+1}  \)

\(  p_n = \dfrac{p}{1-p} - \dfrac{p^{n+1}}{1-p}  \).

\(  lim_{n \to +\infty} p_n = \dfrac{p}{1-p} - \dfrac{ lim_{n \to +\infty} p^{n+1}}{1-p} = \dfrac{p}{1- p}  \).


Sigo sin comprender la suma... No es una serie geométrica?
Título: Re: No sé cómo estudiar el carácter de esta serie.
Publicado por: ingmarov en 20 Junio, 2014, 12:24 am
Qué parte no comprendes?
Título: Re: No sé cómo estudiar el carácter de esta serie.
Publicado por: fjramirez en 20 Junio, 2014, 12:30 am
\( \displaystyle\frac{(\displaystyle\frac{2}{4})^n + (\displaystyle\frac{3}{4})^n}{(\displaystyle\frac{4}{4})^n} \)

\( \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{(\displaystyle\frac{2}{4})^n} + \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{(\displaystyle\frac{3}{4})^n} \)

\( \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{(\displaystyle\frac{2}{4})^n}=\displaystyle\frac{2}{4}+\displaystyle\frac{1}{4}+\displaystyle\frac{1}{8}+\displaystyle\frac{1}{16} \)

\( razon = \displaystyle\frac{1}{4}; s=\displaystyle\frac{a1}{1-r} \)

\( s= \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2}}{1-\displaystyle\frac{1}{4}} \)

y con el otro sumatorio igual, quedando la suma de los dos como la suma total de la serie. Es correcto??
Título: Re: No sé cómo estudiar el carácter de esta serie.
Publicado por: ingmarov en 20 Junio, 2014, 12:42 am
\(  \sum_{i=1}^{+\infty} \dfrac{2^n + 3^n}{4^n} =  \sum_{i=1}^{+\infty} [\dfrac{2^n}{4^n}  + \dfrac{3^n}{4^n}] =  \)

\(  =  \sum_{i=1}^{+\infty} [(\dfrac{2}{4})^n  + (\dfrac{3}{4})^n]  \).

Sí \(   |p| < 1  \).

\(  \sum_{i=1}^{+\infty} p^i = \dfrac{p}{1-p}  \).


\( \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{(\displaystyle\frac{2}{4})^n}=\sum_{i=1}^\infty{(\displaystyle\frac{1}{2})^n}=\dfrac{1/2}{1-1/2}=1 \)

Se hará lo mismo con \( \sum_{i=1}^\infty{(\displaystyle\frac{3}{4})^n} \)


 
Título: Re: No sé cómo estudiar el carácter de esta serie.
Publicado por: ingmarov en 20 Junio, 2014, 12:43 am

y con el otro sumatorio igual, quedando la suma de los dos como la suma total de la serie. Es correcto??

Es correcto.

EDITADO

Sigo sin comprender la suma... No es una serie geométrica?

Es una serie geométrica pero la primera potencia tiene grado 1.

\( \sum_{i=1}^{+\infty} p^i =p+p^2+...= \dfrac{p}{1-p} \)

Observa si utilizas la serie geometrica que comienza con una potencia de grado cero.

\( \sum_{i=0}^{+\infty} p^i =1+p+p^2+...= \dfrac{1}{1-p} \)  Ese primer termino es donde está la diferencia.

Si a la última suma le restamos 1, nos resulta

\( \dfrac{1}{1-p}-1=\dfrac{1-(1-p)}{1-p}=\dfrac{p}{1-p} \)

Título: Re: No sé cómo estudiar el carácter de esta serie.
Publicado por: Fernando Revilla en 20 Junio, 2014, 08:52 am
y cuando es cierto \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty (x_n+y_n)=\sum_{n=1}^\infty x_n+\sum_{n=1}^\infty y_n \)

Basta que ambas series sean convergentes. No es necesario que sean absolutamente convergente. Más aún, las series reales convergentes forman un subespacio vectorial del espacio vectorial de las series con las operaciones habituales suma de series y producto de un escalar por una serie. Puede verse la razón aquí:

http://fernandorevilla.es/algebra-de-series/